Mostre que a aplicação a seguir é linear:
$$F:\mathbb{R}^{2}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y) = (ax+by cx+dy)$$, com $$a,b,c$$ e $$d$$ sendo constantes reais.
Solução:
Sempre verificamos se $$F(v+v’) = F(v) + F(v’)$$ e $$F(\alpha\cdot v) = \alpha\cdot F(v)$$, para quaisquer vetores $$v$$ e $$v’$$ no domínio e para qualquer $$\alpha\in\mathbb{R}$$.
Sejam $$v=(x,y)$$ e $$v=(x’,y’)$$. Por definição,
\[F(v+v’)=F((x,y)+(x’,y’)) =F(x+x’,y+y’,)=\]
\[(a(x+x’)+b(y+y’), c(x+x’)+d(y+y’))=\]
\[(ax+by , cx+dy) + (ax’+by’ , cx’+dy’)=\]
\[F(v)+F(v’).\]
Além disso,
\[F(\alpha\cdot v) = F(\alpha x, \alpha y)=\]
\[(\alpha\cdot ax +\alpha\cdot by , \alpha\cdot cx +\alpha\cdot dy)=\]
\[\alpha\cdot ((ax+by, cx+dy)=\alpha\cdot F(v).\]
