Álgebra Linear – Matriz Inversa – Teoria e Exercícios
Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem $$n$$. Diz-se que $$E_{n\times n}$$ é uma matriz inversa de $$A$$, se $$EA=AE=I_{n}$$, em que $$I_{n}$$ é...
Matemática – Ensino Superior
Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 3)
Exercícios anteriores Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:...
Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 2)
Exercícios anteriores Exercício 2 Sejam $$A$$ uma matriz de ordem $$m \times n$$ e $$X$$ uma matriz coluna de ordem $$n \times 1$$, que são...
Produto Matricial (exercício)
Seja $$A\in M(\mathbb{F})_{m\times n}$$. a) Dada a matriz coluna $$(e_{j})_{n\times 1}= \left[\begin{array}{c} 0\\.\\1\\.\\ 0 \end{array}\right] $$, com $$e_{j1}=1$$ e $$e_{k1}=0$$, para $$k\neq j$$. Prove que...
Álgebra Linear – Traço de uma Matriz
Definição Definição: Dada uma matriz quadrada $$(A)_{n\times n}$$, o traço é definido a seguir: \[tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}\]. Isto é, o traço é a soma dos elementos da...
Álgebra Linear – Transformações Lineares (exercício 9)
Seja 𝑇:𝒳→𝒴 um operador linear cuja inversa existe(inversível). Se o conjunto $$\{𝑥_{1},…,𝑥_{𝑛} \}$$ é um conjunto linearmente independente em 𝒳, mostre que o conjunto $$\{𝑇𝑥_{1},…,𝑇𝑥_{𝑛}\}$$...
[Cálculo Diferencial/Integral II] – Derivadas Parciais – Definição (exercícios)
Exercício 1 Com a definição de derivada parcial por limite, calcule $$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$, para $$f(x,y)=6x+3y-7$$. Exercício 2 Com a definição de derivada parcial por...
[Cálculo Diferencial/Integral II] – Limites de Funções de Duas variáveis – Exercício 1
Prove que o limite abaixo existe e calcule o valor. \[\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\]
[Cálculo Diferencial/Integral II] – Derivadas Parciais – Exercício: Equação de Laplace
Verifique que a função $$u(x, y) = ln[\sqrt{x^{2}+y^{2}}]$$ é solução da equação de Laplace bidimensional: \[\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0\].
Álgebra Linear – Uma demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem
Para a demonstração, assume-se o conhecimento sobre classes equivalência em álgebra linear. Teorema: Sejam dois espaços de dimensão finita $$V$$ e $$W$$. Seja $$\tau\in\mathcal{L}(V;W)$$, uma...
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 3)
Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)$$. Demonstração: De fato, seja $$p\in f(A\cap B)$$....
Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 2)
Seja uma função $$f:X\longrightarrow Y$$, e sejam $$A$$ e $$B$$ subconjuntos de $$X$$. Então $$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$$. Demonstração: De fato, se $$p\in f(A)\cup f(B)$$, é...