Definição
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Definição: Dada uma matriz quadrada $$(A)_{n\times n}$$, o traço é definido a seguir:
\[tr(A)=\sum^{n}_{i=1}a_{ii}\].
Isto é, o traço é a soma dos elementos da diagonal principal da matriz.
A seguir, exibimos uma lista de propriedades do traço matricial, com as respectivas demonstrações.
Propriedades e Demonstrações
Propriedades
1. $$tr(A+B)=tr(B+A)$$;
2. $$tr(\alpha\cdot A)=\alpha\cdot tr(A)$$, com $$\alpha\in\mathbb{R}$$;
3. $$tr(A^{t})=tr(A)$$;
Observação: as matrizes são quadradas de ordem $$n$$.
4. $$tr(A\cdot B)=tr(B\cdot A)$$, em que $$A_{m\times n}$$ e $$B_{n\times m}$$.
Corolário
1. $$tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)$$;
2. $$tr(A^{t}B)=tr(AB^{t})$$.
3. $$tr(B)=tr(M^{-1}BM)$$, para $$B_{\times b}$$ e $$M_{n\times n}$$ invertível.
Observação: as matrizes podem não ser quadradas, desde que suas dimensões sejam de tal modo que o produto resulte numa matriz quadrada.
Demonstração das Propriedades:
1. Por definição de soma matricial, $$(A+B)= (a_{ij}+b_{ij})=c_{ij}$$ e $$(B+A)= (b_{ij}+a_{ij})=d_{ij}$$.
Daqui, $$tr(A+B)=\sum^{n}_{i=1} c_{ii}=\sum^{n}_{i=1} (a_{ij}+b_{ij})=\sum^{n}_{i=1} (b_{ij}+a_{ij}) = \sum^{n}_{i=1} d_{ii} = tr(B+A)$$.
2. Por definição, $$\alpha A = (\alpha a_{ij})$$.
Daqui, $$tr(\alpha\cdot A)=\sum^{n}_{i=1}\alpha a_{ii} = \alpha\cdot\sum^{n}_{i=1}a_{ii}=\alpha\cdot tr(A)$$.
3. Por definição de transposição de matrizes, os elementos da diagonal principal são mantidos intactos. Daqui, observamos que $$tr(A)=tr(A^{t})$$.
4. $$AB=(c_{ij}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})$$ e $$BA=(d_{ij}=\sum^{m}_{k=1}b_{ik}a_{kj})$$.
No caso $$n=m=2$$, $$tr(AB)=c_{11}+c_{22}=(a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21})+(a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22})$$. Mas a última expressão pode ser organizada em outro modo: $$b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}+b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}$$.
Assim, a expressão passa a ser $$tr(BA)$$.
No caso geral, podemos usar a associatividade e a comutatividade das operações de números reais para concluir a propriedade desejada.
$$tr(AB)=\sum^{m}_{i=1}c_{ii}=\sum^{m}_{i=1}\sum^{n}_{k=1}(a_{ik}b_{ki})=\sum^{m}_{i=1}\sum^{n}_{k=1}(b_{ki}a_{ik})=\sum^{n}_{k=1}\sum^{m}_{i=1}(b_{ki}a_{ik})=\sum^{n}_{k=1}d_{kk}=tr(BA)$$.
Demonstração do Corolário
1. O produto matricial é associativo, então podemos fazer $$(AB)C=A(BC)$$, por exemplo. Com a propriedade (4), podemos concluir a proposição:
$$tr((AB)C)=tr(C(AB))$$ e $$tr(A(BC))=tr((BC)A)$$.
2. Note que $$BA^{t}=(AB^{t})^{t}$$. Para concluir, $$tr(A^{t}B)=tr(BA^{t}) =tr((AB^{t})^{t})=tr(AB^{t})$$.
3. Da propriedade do produto e da associatividade, $$tr(M^{-1}(BM))= tr((BM)M^{-1})=tr(B(MM^{-1})) = tr(BI)=tr(B)$$.
Exercícios
1. Seja $$A$$ uma matriz n × n. Mostre que, se $$AA^{t}=0_{n\times n}$$, é verdade que $$A=0_{n\times n}.
2. Para cada matriz $$A_{n\times n}$$, use a função traço para justificar que a equação matricial $$AX-XA=I$$ não admite solução.
3. Sejam as matrizes reais $$u$$ e $$v$$ de ordem $$n\times 1$$. Prove que, se $$A=uv^{t}_{n\times n}$$, $$A^{2}=tr(A)\cdot A$$.
Soluções dos exercícios
1.
O produto $$AA^{t}$$ produzirá os seguintes elementos na diagonal principal: $$c_{ii}=\sum^{n}_{k=1} a_{ik}a_{ik}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}^{2}$$. Então $$tr(AA^{t})=\sum^{n}_{i=1}c_{ii}=\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{k=1}a_{ik}^{2}$$.
Por outro lado, $$tr(AA^{t})=tr(O_{n\times n})=0$$, então temos $$\sum^{n}_{i=1}\sum^{n}_{k=1}a_{ik}^{2}=0$$. Isso significa que $$a^{2}_{ik}=0$$, para todos $$i,k\in\{1,2…,n\}$$, dado que a soma de números reais maiores ou iguais a zero só pode ser nula se todas as parcelas forem nulas.
2. Suponha, por absurdo, existir a matriz $$X$$ que satisfaz à equação indicada. Aplicamos o traço sobre a expressão:
$$tr(AX-XA)=tr(AX)-tr(XA)=tr(AX)-tr(AX)=0$$. Por outro lado, a fim de que a equação seja satisfeita, $$tr(AX-XA)=tr(I_{n\times n}=n$$, logo chegamos ao absurdo de que $$n=0$$. Concluímos não haver solução para a equação.
3. Os elementos de $$A$$ são da forma $$(a_{ij}=u_{i}v_{j})$$, em que a notação dos índices para as matrizes coluna é facilitada. Exemplo: $$u_{i}=u_{i1}$$.
Nota-se também que $$tr(A)=\sum^{n}_{i=1}u_{i}v_{i}$$, que pode ser obtido do produto de matrizes no seguinte modo: $$v^{t}u$$. Esse produto é conhecido como produto exterior de matrizes e segue da definição do produto matricial. De fato, $$v^{t}_{1\times n}\cdot u_{n\times 1}$$ é uma matriz de dimensão $$1\times 1$$, isto é, a matriz reduz-se a um escalar.
Por definição, $$A^{2}=(uv^{t})(uv^{t})$$. Mais ainda: pela propriedade associativa dos produtos de matrizes, podemos escrever no modo a seguir:
\[A^{2}=(uv^{t})(uv^{t})=u(v^{t}u)v^{t}\].
Na zona intermediária do produto, encontra-se o escalar $$(v^{t}u)=tr(A)$$, que pode ser multiplicado antes do produto de matrizes, ou seja, $$u(v^{t}u)v^{t}=(v^{t}u)(uv^{t})=tr(A)\cdot A$$.
