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Seja f: R → R a função dada por f(x) = 2.sen(3x-π/3)

Plenus — Tue, 28 Jan 2025 18:39:43 +0000

Seja f: R → R a função dada por f(x) = 2.sen(3x-π/3). No gráfico de f(x), estão marcados os pontos P, Q e R. O ponto P localiza-se na interseção do gráfico de f(x) com o eixo das ordenadas. Q é o ponto do gráfico de menor abscissa positiva para o qual f(x) é máximo. O ponto R localiza-se na segunda interseção positiva do gráfico de f(x) com o eixo das abscissas. A reta r passa pelos pontos Q e R, como se vê na imagem.

a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Determine o coeficiente angular da reta r.

Solução (no vídeo abaixo):

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Permutação – Exercício 11

Plenus — Tue, 06 Feb 2024 09:44:43 +0000

Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo
1.

b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número
512346 e que número ocupa a 242ª posição.

Solução:

a) O total é formado pela permutação dos 6 números, que é igual a 6!.
Fixando o primeiro algarismo como 1, restam outros 5 dígitos que podem ser permutados nas 5 escolhas possíveis. Isso fornece um total de $$1\cdot 5! = 120$$ números.

b) Já calculamos, no item anterior, a quantidade de números iniciados por 1. A quantidade de números iniciados por 2 será exatamente a mesma, e assim por diante. Isso significa que, em ordem crescente, os números iniciados pelo algarismo 5 aparecem depois da posição $$120\cdot 4 = 480$$, e o primeiro número iniciado por 5 é exatamente o número 512346, então ele ocupa a posição 481.

Os primeiros 120 números começam com 1; os próximos 120 números começam com 2. Daqui, temos 240 números. Os próximos iniciam-se com o algarismo 3. Em ordem, teremos 312456 e 312465. Este último é o número da 242ª posição.

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UNESP 2024 – Um prisma reto, de 10 cm de altura

Plenus — Wed, 03 Jan 2024 14:28:03 +0000

Um prisma reto, de 10 cm de altura, tem base representada pela letra N, composta por dois retângulos congruentes ABIJ e DEFG, e pelo paralelogramo CDHI, com AJ = 12 cm, BC = x cm, AD = (x –1) cm e BD = 6 cm, como mostra a figura.

a) Considerando que os triângulos CBD e JAD são semelhantes, mostre que x = 9.
b) Considerando x = 9 cm, calcule o volume do prisma.

Solução (no vídeo a seguir):

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UNESP 2021 – 2ª fase – Todas as questões de Matemática

Plenus — Tue, 01 Feb 2022 17:22:03 +0000

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UNESP 2021 – 2ª Fase – Q.60

Plenus — Tue, 01 Feb 2022 17:16:59 +0000

Um apreciador de café decidiu iniciar um pequeno cultivo próprio. Ele pretende vender o café colhido nos seguintes formatos: seco, em sacas de 60 kg, e torrado, nas opções de pacotes de 500 g e de cápsulas de 7 g. Para isso, considerou os seguintes valores:

Esse potencial produtor pensou inicialmente em investir em um maquinário simples para a realização da torra, o empacotamento e o encapsulamento do café. Com essa estrutura, três quintos do café colhido e seco seriam destinados para a venda em sacas, e o restante torrado, do qual parte seria encapsulada. Dessa forma, estima-se que o preço médio de venda do quilo de café de sua colheita atingiria R$ 16,70, quase o dobro do valor se todo o café colhido e seco fosse vendido unicamente em sacas.

Se, ao torrar 1 kg de café seco, esse produtor obtiver 800 g de café torrado, qual a fração do café torrado que deverá ser destinada à venda no formato de cápsulas para atingir o valor estimado de R$ 16,70?

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a) 1/8
b) 1/20
c) 1/3
d) 1/50
e) 3/10

Solução:

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UNESP 2021 – 2ª fase – Todas as questões de Física

Guimarães — Wed, 22 Dec 2021 20:09:19 +0000

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UNESP 2021 – 2ª Fase – Q.55

Guimarães — Wed, 22 Dec 2021 20:03:30 +0000

O efeito fotoelétrico é um processo em que ocorre a emissão de elétrons por uma placa metálica, chamados fotoelétrons, quando a radiação eletromagnética incide sobre ela com uma quantidade de energia suficiente para removê-los da superfície da placa. A quantidade mínima dessa energia que remove cada elétron é chamada função trabalho do metal (Φ). No estudo desse efeito, considera-se que a energia (ε) associada a um fóton de determinada radiação que se propaga com frequência f é dada pela expressão ε = h × f, em que h é uma constante positiva. Nesse processo, essa energia é totalmente absorvida por um elétron ligado à placa, sendo parte utilizada para removê-lo do metal e o restante transformada em energia cinética desse fotoelétron ($$E_{cin}$$ = ε – Φ).

A tabela apresenta as funções trabalho do sódio e do alumínio, expressas em joules.

Considere que uma radiação ultravioleta de comprimento de onda $$\lambda = 4\times 10^{-7}\, m$$, propagando-se no vácuo, incida sobre duas placas, uma feita de sódio e outra de alumínio. Sendo a velocidade da luz no vácuo $$c = 3\times 10^{8}\, m/s$$ e adotando-se $$h = 6,4\times 10^{-34}\, J\cdot s$$, nessa situação somente a placa de

(A) alumínio emitirá fotoelétrons, cada um com $$2,0\times 10^{-19}\, J$$ de energia cinética.
(B) alumínio emitirá fotoelétrons, cada um com $$2,4\times 10^{-19}\, J$$ de energia cinética.
(C) sódio emitirá fotoelétrons, cada um com $$2,4\times 10^{-19}\, J$$ de energia cinética.
(D) sódio emitirá fotoelétrons, cada um com $$1,1\times 10^{-19}\, J$$ de energia cinética.
(E) alumínio emitirá fotoelétrons, cada um com $$1,1\times 10^{-19}\, J$$ de energia cinética.

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Solução:

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UNESP 2021 – 2ª Fase – Q.54

Guimarães — Wed, 22 Dec 2021 19:53:12 +0000

Um estudante tinha disponíveis um gerador elétrico de força eletromotriz E = 50 V e resistência interna r = 2 Ω, duas lâmpadas iguais com valores nominais (60 V – 100 W) e um amperímetro ideal, como representado na figura.

Com esses componentes, ele montou o seguinte circuito elétrico:

Considerando que as resistências dos fios de ligação e dos conectores utilizados sejam desprezíveis, o amperímetro desse circuito indicará o valor de

(A) 1,5 A.
(B) 2,0 A.
(C) 2,5 A.
(D) 3,0 A.
(E) 1,0 A.

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Solução:

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UNESP 2021 – 2ª Fase – Q.53

Guimarães — Tue, 21 Dec 2021 20:56:21 +0000

Um semicilindro circular reto de raio R está imerso no ar e é atingido por um raio de luz monocromática que incide perpendicularmente no ponto A de uma de suas faces planas. Após atravessá-lo, esse raio emerge pelo ponto B contido na superfície circular do semicilindro. As figuras indicam as duas situações.

Considerando sen 37º = 0,6 e que o índice de refração absoluto do ar é $$n_{Ar} = 1$$, o índice de refração absoluto do material de que o semicilindro é feito é

(A) 1,2.
(B) 1,4.
(C) 1,6.
(D) 1,8.
(E) 2,0.

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UNESP 2021 – 2ª Fase – Q.52

Guimarães — Tue, 21 Dec 2021 20:48:39 +0000

Duas polias circulares, I e II, de raios respectivamente iguais a 30 cm e 20 cm estão apoiadas sobre uma mesa horizontal e são acopladas como mostra a figura. Na superfície da polia II está desenhada uma seta vermelha, inicialmente na posição indicada. A polia I é fixa na mesa e não gira, mas a polia II pode girar no sentido horário em torno do seu próprio centro e, simultaneamente, em torno do centro da polia I sem perder contato e sem escorregar em relação a ela. Dessa forma, o centro da polia II percorre a trajetória circular tracejada indicada na figura, que mostra uma visão superior das polias.

Quando a polia II der uma volta completa em torno de I e retornar à posição inicial indicada na figura, a seta em sua superfície estará na posição:

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