Na eleição do conselho fiscal de um clube, sabe-se que, com os associados que se candidataram, o
número de modos de constituir o conselho com 4 ou 6 membros é o mesmo. Então, o número de associados
candidatos é:
a) 20
b) 16
c) 10
d) $$2^{4} + 2^{6}$$.
e) 1024
Solução:
As funções dos conselheiros não têm distinção, portanto não importam as ordens de cálculo, de modo que o problema corresponde ao cálculo das combinações com 4 e 6 membros, dados $$n$$ candidatos.
Dado que $$C_{n,4}=C_{6,n}$$, temos
\[\frac{n!}{(n-4)!4!}=\frac{n!}{(n-6)!6!}\Longleftrightarrow\]
\[\frac{(n-4)!}{(n-6)!}=\frac{6!}{4!}=30 (*).\]
Usando o fato de que $$(n-4)! = (n-4)(n-5)(n-6)!$$, a equação $$(*)$$ torna-se
\[(n-4)(n-5)=30\Longrightarrow n^{2}-9n – 10 = 0.\]
Resolvendo por Bhaskara, temos as raízes $$n = 10$$ e $$n=-1$$. Evidentemente, dado que $$n$$ representa o número de pessoas que se candidataram aos cargos, apenas a solução $$n=10$$ deve ser levada em conta.
Resposta: c)
