Conjuntos Fechados – Exercício 1

Seja um espaço vetorial normado $$E$$. Dado um conjunto $$A\subset E$$ limitado, prove que o fecho de $$A$$ também é limitado.

Demonstração:

Por hipótese, existe $$M_0>0$$ tal que, para qualquer $$x\in A$$, $$||x||\le M_0$$. Seja um elemento $$p\in \overline{A}$$, um ponto no fecho do conjunto $$A$$. Sabe-se que, para qualquer $$ϵ>0$$, existe $$x\in A\cap B(p,ϵ)$$, pelo fato de $$p$$ ser um ponto adente ao conjunto $$A$$.

Utilizando essa informação e a hipótese do conjunto limitado, tem-se que, para qualquer $$ϵ>0$$, existe $$x\in A$$ tal que

$$||p-x||<ϵ⟹||p||<ϵ+||x||=ϵ+M_0.$$

Isso prova que $$||p||<M_0$$, do contrário, haveria $$r\ge 0$$ tal que $$r+M_0=||p||$$. Escolhendo $$ϵ<r/2$$, ter-se-ia

$$r+M_0=||p||<ϵ+M_0=\frac{r}{2}+M_0,$$

o que é claramente o um absurdo. Isso prova que, seja qual for o elemento do fecho de $$A$$, a sua norma não pode ultrapassar o valor de $$M_0$$, isto é: o fecho é um conjunto limitado em $$E$$.