Derivada de Ordem Superior – Exercício 1

Determine a derivada segunda da função.

$$y=sen(\omega t)$$, com $$\omega\in\mathbb{R}$$.

Solução:

Cálculo da derivada primeira.

Fazemos a substituição $$u=\omega t$$. Temos, então, $$u’ = \omega$$. Pela regra da cadeia, temos $$\frac{dy}{dt}=\frac{sen(u)}{du}\cdot u’ = cos(u)\cdot\omega = \omega\cdot cos(\omega t)$$.

Cálculo da derivada segunda. 

Temos $$\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(\omega\cdot cos(\omega t))=\omega \frac{d}{dt} cos(\omega t)$$.

Para calcular $$[cos(\omega t)]’$$, basta fazermos a substituição $$z=\omega t$$ e aplicarmos a regra da cadeia: $$\frac{d}{dt} cos(\omega t) = [cos(z)]’\cdot z’ = -\omega sen(\omega t)$$. Daqui,

\[\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=-\omega^{2} sen(\omega t).\]