(Insper-SP) No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo x representa uma estrada já existente, os pontos A(8, 2) e B(3, 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação 45°, representa uma estrada que será construída.
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada intercepta a existente, deverá ter coordenadas:
Solução:
i) Sabemos que a nova estrada tem forma 45º com o eixo x, portanto seu coeficiente angular é $$tg(45º) = m = 1$$. A forma geral da equação da reta da estrada será $$ax+by+c=0$$, pois ainda não conhecemos qualquer ponto que esteja sobre a reta, apenas sua inclinação.
Observamos, contudo, que a forma reduzida é $$y = (-a/b)x – (c/b)$$, de onde encontramos que $$-a/b = 1$$ (coeficiente angular), então $$a=-b$$. A equação geral será $$ax – ay + c = 0$$.
ii) Pela fórmula da distância de uma reta a um ponto, calculamos a distância entre tal reta e (8,2):
\[d_{r,A}=\frac{|a\cdot 8 – a\cdot 2 + c|}{\sqrt{a^{2}+(-a)^{2}}}=\]
\[\frac{|6a+c|}{a\sqrt{2}}.\]
iii) Aplicando novamente a fórmula, agora para o ponto (3,6), temos
\[d_{r,B}=\frac{|a\cdot 3 – a\cdot 6 + c|}{\sqrt{a^{2}+(-a)^{2}}}=\]
\[\frac{|-3a+c|}{a\sqrt{2}}.\]
iv) Como as distâncias serão iguais, teremos a equação modular
\[\frac{|6a+c|}{a\sqrt{2}}=\frac{|-3a+c|}{a\sqrt{2}}\Longrightarrow\]
\[|6a+c|=|-3a+c|.\]
v) Para a solução da equação modular, podemos ter os módulos com sinais iguais ou diferentes, mas as soluções que satisfazem a condição de ser uma reta só podem ser obtidas quando houver sinal trocado. Observe que $$6a + c = 3a-c$$, donde encontramos a relação 3a=-2c$$.
Voltando à equação geral da reta, teremos
\[r: ax – ay – (3/2)a = 0.\]
vi) Finalmente, observamos que o ponto de intersecção entre as duas retas tem coordenada y=0, então
\[a\cdot x – a\cdot 0 – (3/2)a =0.\]
Dividindo toda a equação pelo parâmetro a, teremos x – 3/2 = 0, que implica $$x=3/2$$.
