Equação de Torricelli

Quando estudamos o Movimento Uniformemente Variado, é impossível não nos depararmos com a Equação de Torricelli. Essa fórmula é extremamente útil, pois somos capazes de relacionar velocidade, espaço e aceleração sem necessitarmos da variável tempo.

Foi Evangelista Torricelli que, trabalhando com Galileu Galilei, derivou esta fórmula a partir das conhecidas equações horárias do espaço da velocidade no MUV ou MRUV. Aplicações da fórmula são encontradas em todo o estudo da cinemática, mas se destacam no lançamento horizontal e no lançamento vertical.

A famosa equação é

v² = v₀² + 2aΔs,

em que

• • v₀ é a velocidade inicial do objeto;
  • v é a velocidade final do objeto;
  • a é a aceleração; e
  • Δs é a variação do espaço.

Agora é hora de praticar com nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre a Equação de Torricelli.

Demonstração da Fórmula

Vamos utilizar duas funções muito conhecidas do MUV: função da velocidade e função da posição:

• Função horária da velocidade: v = v₀ + at; e
• Função horária da posição: S = S₀ + v₀t + (a/2)t²

Como queremos eliminar a variável tempo, vamos isolar t na função da velocidade.

$$t = \frac{v – v_{0}}{a}$$

Agora substituímos t na função da posição.

$$S – S_{0} = v_{0} (\frac{v – v_{0}}{a}) + \frac{a}{2} (\frac{v – v_{0}}{a})^{2}\Longrightarrow$$

$$\Delta S = \frac{v_{0} v – v_{0}^{2}}{a} + \frac{a}{2a^{2}} (v^{2} – 2vv_{0} + v_{0}^{2})\Longrightarrow$$

$$\Delta S = \frac{2v_{0} v – 2v_{0}^{2} + v^{2} -2v_{0} v + v_{0}^{2}}{2a}\Longrightarrow$$

Cancelando alguns termos e reescrevendo, temos a famosa equação de Torricelli:

$$v^{2} = v_{0} ^{2} + 2a\Delta S$$

Segunda Demonstração da Fórmula

Buscamos uma expressão que seja livre da variável tempo. Para isso, vamos escrever o “sorvetão” do seguinte modo: ΔS = v₀t + (a/2)t². Agora, multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator 2a e ficamos com

\[2a\Delta S = 2av_{0}t + a^{2}t^{2}\Longrightarrow\]

\[2a\Delta S = at (2v_{0} + at) (*).\]

Agora, vamos substituir na equação $$(*)$$ a função horária da velocidade, que será escrita do seguinte modo: at = v – v_o . Obtemos, assim, a fórmula

\[ 2a\Delta S = (v-v_{0})(2v_{0}+v-v_{0})= (v-v_{0})(v+v_{0}) (**).\]

Note que a expressão à direita de $$(**)$$ é uma diferença de quadrados, donde se tem que

\[2a\Delta S = v^{2}-v_{0}^{2} (***).\]

Finalmente, reescrevemos $$(***)$$ na forma por nós há muito conhecida:  v² = v²₀ + 2aΔs.