(UFRGS) Sabendo que $$4^{x} – 4^{x–1} = 24$$, então o valor de $$x^{1/2}$$ é
a)(√2)/5
b) (√5)/2
c) √2
d) (√10)/5
e) (√10)/2
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Solução:
Sabemos que $$4=2^{2}$$, então a equação do enunciado será reescrita do seguinte modo:
\[(2^{2})^{x}-(2^{2})^{x-1}=3\cdot 2^{3}\Longrightarrow\]
\[(2^{x})^{2}-(2^{x}\cdot 2^{-1})^{2}=24\Longrightarrow\]
\[(2^{x})^{2}-(2^{x})^{2}\cdot 2^{-2}=24.\]
Faremos a substituição $$u=2^{x}$$, de modo que a equação se torne
\[u^{2}-\frac{u^{2}}{4}=24\Longrightarrow\]
\[4u^{2}-u^{2}=4\cdot 24\Longrightarrow\]
\[3u^{2}=96\Longrightarrow u^{2}=32=2^{5}.\]
Daqui, temos $$u=\pm \sqrt{32}=\pm 2^{5/2}$$.
O único valor possível para voltarmos da substituição é o valor positivo, logo
\[2^{x}=2^{5/2},\]
e isso significa que $$x=5/2$$, donde se tem que
\[x^{1/2}=(5/2)^{1/2}=\]
\[\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.\]
Resposta: e)
