(Mackenzie) A soma das raízes da equação
\[2^{2x+1}-2^{x+4}=2^{x+2}-32\]
é:
a) 2
b) 3
c)4
d) 6
e) 7
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Solução:
Faremos a substituição $$2^{x}=u$$. Para tanto, precisamos aplicar as propriedades de potência em cada parcela da equação, a fim de que separemos os termos $$2^{x}$$ dos outros termos. Observamos que
- $$2^{2x+1}=2^{2x}\cdot 2 =(2^{x})^{2}\cdot 2 = 2u^{2}$$,
- $$2^{x+4}=2^{x}\cdot 2^{4} = 16u$$ e
- $$2^{x+2}=2^{x}\cdot 2^{2} = 4u$$.
Daqui, reescrevemos a equação do enunciado da seguinte forma:
\[2u^{2}-16u-4u+32 = 0\Longrightarrow\]
\[2u^{2}-20u+32=0\Longrightarrow\]
\[u^{2}-10u+16=0.\]
Resolvendo por Bhaskara a equação, temos
\[u_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{100-4\cdot 16}}{2}=\frac{10\pm 6}{2}.\]
As raízes são $$u_{1}=8$$ e $$u_{2}=2$$. Transformando novamente, temos $$2^{x_{1}}=u_{1}=8=2^{3}$$, logo $$x_{1}=3$$, e $$2^{x_{2}}=u_{2}=2=$$, o que fornece $$x_{2}=1$$. A soma das soluções é $$1+3 = 4$$.
Resposta: c)
