(ITA) A soma de todas as soluções distintas da equação
\[cos 3x + 2 cos 6x + cos 9x = 0\]
que estão no intervalo $$x\in[0,\pi/2]$$, é igual
Solução:
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Fazendo a substituição $$u=3x$$, a equação torna-se $$cos(u)+cos(2u)+cos(u+2u)=0$$. Sabe-se que $$cos(2u)=2cos^{2}(u)-1$$. Daqui,
\[cos(u+2u) = cos(u)cos(2u)-sen(u)sen(2u)=\]
\[cos(u)[2cos^{2}(u)-2]-sen(u)2sen(u)cos(u)=\]
\[2cos^{3}(u)-2cos(u) – (1-cos^{2}(u))2cos(u)=\]
\[2cos^{3}(u)-2cos(u)+2cos^{3}(u)-2cos(u).\]
Substituindo as fórmulas para $$cos(2u)$$ e $$cos(u+2u)=cos(3u)$$ na equação inicial, obtemos
\[4cos^{3}(u)+2cos^{2}(u)-2cos(u)-2=0.\]
Ao dividirmos o polinômio anterior por 2 e fazermos a substituição $$t=cos(u)$$, obtemos
\[p(t)=2t^{3}+2t^{2}-t+1=0.\]
Observa-se que $$t=-1$$ é raiz do polinômio. Dividindo o polinômio por $$t+1$$, temos a decomposição $$p(t)=(t+1)(2t^{2}-1)=0$$, de modo que as raízes calculadas são $$cos(u)=t\in\{-1,\pm\sqrt{2}/2\}$$. Daqui, $$u = \pi+2k\pi$$ ou $$u=\frac{\pi + k\pi}{4}$$.
As soluções de $$x$$ são, portanto,$$ x = \frac{\pi+2k\pi}{3}$$ ou $$x=\frac{\pi+k\pi}{12}$$, para $$k\in\mathbb{N}$$. Como estamos buscando apenas as soluções no intervalo do enunciado, temos $$x\in\{\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{12}\frac{3\pi}{12},\frac{5\pi}{12}\}$$, cuja a soma resulta em $$\frac{13\pi}{12}$$.
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