Equações Trigonométricas – Exercício 3

(IME – 2016) Seja a equação $$\frac{sen(2x)}{tg(x)}=1/2$$. As soluções dessa equação para $$x\in [-\pi/2,\pi]$$ formam um polígono no círculo trigonométrico de área

a) √3/2
b) √3
c) (5√3)/8
d) 1/2
e) 1

Solução:

Fazendo a substituição $$sen(2x)=2sen(x)cos(x)$$ e $$tg(x)=sen(x)/cos(x)$$, a equação é reescrita do seguinte modo

\[\frac{1}{2}=\frac{sen(2x)}{tg(x)}=2sen(x)cos(x)\cdot \frac{cos(x)}{sen(x)}=2cos^{2}(x).\]

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Daqui, temos $$cos(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{4}}=\pm\frac{1}{2}$$. No ciclo trigonométrico, as soluções são π/3 , 2π/3 , 4π/3 e 5π/3. No intervalo considerado, valem as duas primeiras soluções. No entanto, sabemos que 5π/3 é análogo, no círculo trigonométrico, ao  -π/3, que também faz parte do intervalo considerado no enunciado, portanto as soluções são π/3 , 2π/3 e 5π/3.

Abaixo, temos a representação do triângulo no círculo trigonométrico. Note que o segmento MN vale $$2cos(\pi/3) = 1$$, e o segmento NO vale $$2sen(\pi/3)=2\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$. Como o triângulo MNO é retângulo em $$N$$, por hipótese do círculo trigonométrico, sua área é $$A=\frac{1\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$.