Equações Trigonométricas – Exercício 6

Determine o conjunto solução da equação $$sen(x)-cos(x)=0$$.

Solução:

Com a identidade fundamental da trigonometria, escrevemos $$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$$. Elevando ao quadrado ambos os lados da equação, obtemos

\[1-cos^{2}(x)=sen^{2}(x)=cos^{2}(x),\]

donde tiramos a expressão

\[2cos^{2}(x)=1.\]

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Isso implica $$cos(x)=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$$.

Daqui, as soluções são $$cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ ou $$cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$. Observamos que as soluções positivas podem ser π/4 , 3π/4, 5π/4, 7π/4, etc.

Essa sequência de arcos forma uma progressão aritmética de razão 2π/4 e termo inicial igual a π/4 , portanto a forma de todos os arcos que satisfazem a equação do enunciado é $$\frac{\pi}{4}+\frac{2k\pi}{4}$$, para qualquer $$k$$ inteiro, seja positivo ou negativo.