Prove que, num espaço vetorial normado $$E$$, todo subespaço vetorial $$U$$ próprio tem interior vazio. Conclua que, para todo $$a\in E$$, a variedade afim $$a+U=\{a+v; v\in U\}$$ tem interior vazio.
Demonstração
Como $$U$$ é um subespaço próprio de $$E$$, é fato que $$E-U\neq \{0_{E}\}$$. Seja $$x\notin U$$ tal que $$x\neq 0_{E}$$, então $$v-\alpha\cdot x$$ não pertence a $$U$$, sejam quais forem $$\alpha\neq 0$$ e $$v\in U$$.
Com efeito, se existissem $$\alpha_{0}$$ e $$v_{0}$$ tais que $$v_{0}-\alpha_{0}x\in U$$, teríamos $$x=(1/\alpha_{0})v_{0}-(1/\alpha_{0})(v_{0}-\alpha_{0}\cdot x)\in U$$, pelo critério do subespaço vetorial, algo que contraria a hipótese inicial.
Agora, dado qualquer $$\delta>0$$ e qualquer $$v\in U$$, podemos escolher $$y=\frac{\delta\cdot x}{2||x||}$$, com $$x\neq 0_{E}\notin U$$. O elemento $$v-y$$, que não pertence a $$U$$, sempre estará em $$B(v,\delta)$$.
De fato, $$||v-(v-y)|| = ||y|| = ||\delta \frac{x}{2||x||}||=\frac{\delta\cdot ||x||}{2||x||}=\frac{\delta}{2}<\delta$$.
Em particular, para as classes de equivalência de $$U$$, bastaria tomar $$a\notin U$$, de modo que $$||a+\frac{\delta\cdot v}{2||v||}-a||=\frac{\delta\cdot ||v||}{2||v||}<\delta$$. Daqui, conclui-se que sempre haverá elementos (neste caso, o elemento é $$\frac{\delta\cdot v}{2||v||}$$), que não pertencem à classe $$a+U$$, ainda que pertençam ao conjunto $$B(a+v,\delta)$$.
Referência:
Lima, Elon Lages – Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009
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