Um serviço de streaming ganha 300 assinaturas por dia, se a mensalidade for de $4,00. Para cada $1,00 de acréscimo no preço, há uma queda diária de demanda de 50 assinaturas.
a) Qual a equação de demanda diária de filmes, admitindo-a como função linear;
b) Qual preço deve ser cobrado para maximizar a receita?
Solução:
a) Os pares ordenados são da forma (p,x), em que $$p$$ é o preço e $$x$$ é a demanda. O primeiro par é (4,300). O segundo pode ser o par e (4+1,300-50) = (5,250).
O modelo de demanda é dado por $$x(p) = ap+b$$. Daqui, montamos duas equações, uma para cada par ordenado:
- $$300 = 4a+b$$, e
- $$250 = 5a + b$$.
Se multiplicarmos a segunda equação por (-1) e somarmos esse resultado à primeira equação, obtemos $$250-300 = 5a – 4a + b -b$$, que se reduz a $$-50 = a$$.
Substituindo na primeira equação, obtemos $$300 = 4\cdot -50 + b$$, logo $$b=320$$. Nossa equação é, portanto,
\[x(p) = -50p + 500.\]
b) A função receita é dada por $$R(p) = x(p)\cdot p = -50p^{2}+500p$$.
Por se tratar de uma equação do segundo grau, o preço que gera a receita máxima é dado pelo “x do vértice”: $$p=\frac{-b}{2a}=\frac{-500}{2\cdot – 50}=R\$ 5,00$$.
Outra forma de resolver é fazendo a derivada da função Receita:
\[R'(x) = (-50p^{2}+500p)’ = -100p + 500.\]
A raiz dessa equação é o valor em que a receita é máxima: $$-100p+500 = 0$$, então $$p =5$$.
