A função f: R → R tem como gráfico uma parábola e satisfaz f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, para todo número real x. Então, o menor valor de f(x) ocorre quando x é igual a:
a) 11/6
b) 7/6
c) 5/6
d) 0
e) – 5/6
Solução:
A forma geral da função é $$f(x) = ax^{2}+bx+c$$. Substituindo na fórmula apresentada pelo enunciado, temos
\[a(x+1)^{2}+b(x+1)+c – ax^{2}-bx-c = 6x-2\Longrightarrow\]
\[2xa+a+b=6x-2.\]
Tomando $$x=0$$, obtemos $$a+b = -2$$, e, para $$x=1$$, obtemos 3a+b=4$$. Para resolver o sistema de equações, podemos fazer a segunda equação – a primeira equação, então obtemos
\[3a+b – (a+b) = 4 – (-2) \Longrightarrow\]
\[2a=6 \Longrightarrow a = 3.\]
Voltando à primeira equação, obtemos $$3+b=-2$$, então $$b=-5$$.
Agora, basta aplicarmos a fórmula do “x” do vértice:
\[x_{v}=\frac{-b}{2a}=\frac{5}{6}.\]
