Função Exponencial – Exercício 6

Se a e b são números reais e a função f definida por f(x) = a · 2^x + b, para todo x real, satisfaz f(0) = 0 e
f(1) = 1, então a imagem de f é o intervalo:

a) ]1, + ∞[
b) ]0, + ∞[
c) ]– ∞, 1[
d) [–1, 1]
e) ]–1, + ∞[

Solução:
Em primeiro lugar, calcularemos os parâmetros reais $$a$$ e $$b$$.
Sabemos que $$0=f(0) = a\cdot 2^{0}+b$$, então $$a+b=0$$, logo $$a=-b$$.

Também sabemos que $$1=f(1)=a\cdot 2^{1}+b = 2a+b$$. Substituindo a expressão obtida na linha anterior, temos $$2a – a = 1$$, logo $$a=1$$. Retornando à equação anterior, obtemos $$b=-1$$.
A nossa função é, portanto, $$f(x) = 2^{x}-1$$.

Se nossa função exponencial fosse $$2^{x}$$, teríamos a imagem igual ao intervalo ]0,∞[. Como a função sofre um deslocamento de (-1), teremos o intervalo ]-1,∞[ como imagem.