A figura acima mostra parte do teclado de um piano. Os valores das frequências das notas sucessivas, incluindo os sustenidos, representados pelo símbolo #, obedecem a uma progressão geométrica crescente da esquerda para a direita; a razão entre as frequências de duas notas Dó consecutivas vale 2; a frequência da nota Lá do teclado da figura é 440 Hz. O comprimento de onda, no ar, da nota Sol indicada na figura é próximo de
a) 0,56 m
b) 0,86 m
c) 1,06 m
d) 1,12 m
e) 1,45 m
Note e adote:
$$2^{1/12}=1,059$$
$$(1,059)^{2}=1,12$$
velocidade do som no ar = 340 m/s
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Solução:
Chamamos a frequência do primeiro Dó de $$f_{1}$$, a frequência do o primeiro Dó# de $$f_{2}$$ e assim por diante. Primeiro, encontramos a razão da PG. Segundo o enunciado, $$\frac{f_{13}}{f_{1}} = 2$$. \[f_{13} = f_{1}\cdot q^{12} \longrightarrow 2\cdot f_{1} = f_{1}\cdot q^{12} \longrightarrow q = 2^{1/12} \longrightarrow q = 1,059\]
Com isso, podemos encontrar a frequência do primeiro Dó ($$f_{1}$$).
\[f_{10} = f_{1}\cdot q^{9} \longrightarrow 440 = f_{1}\cdot 1,059^{9} \longrightarrow f_{1} = \frac{440}{1,059^{9}}\]
Agora podemos encontrar a frequência da nota Sol.
\[f_{8} = f_{1}\cdot q^{7} \longrightarrow f_{8} = \frac{440}{1,059^{9}}\cdot 1,059^{7} \longrightarrow f_{8} = \frac{440}{1,12}\]
Com a frequência, podemos encontrar o comprimento de onda.
\[v = \lambda\cdot f \longrightarrow 340 = \lambda_{8}\cdot \frac{440}{1,12} \longrightarrow \lambda_{8} = 0,86\, m\]
Resposta: letra B.
