Foram identificados, até agora, aproximadamente 4.000 planetas fora do Sistema Solar, dos quais cerca de 10 são provavelmente rochosos e estão na chamada região habitável, isto é, orbitam sua estrela a uma distância compatível com a existência de água líquida, tendo talvez condições adequadas à vida da espécie humana. Um deles, descoberto em 2016, orbita Proxima Centauri, a estrela mais próxima da Terra. A massa, $$M_{P}$$, e o raio, $$R_{P}$$, desse planeta são diferentes da massa, $$M_{T}$$, e do raio, $$R_{T}$$, do planeta Terra, por fatores α e β: $$M_{P} = \alpha M_{T}$$ e $$R_{P} = \beta R_{T}$$.
a) Qual seria a relação entre α e β se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?
Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra. Nas condições do item a), obtenha, em função de β,
b) a razão $$r_{g} = \frac{g_{P}}{g_{T}}$$ entre o valor da aceleração da gravidade, $$g_{P}$$, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, $$g_{T}$$, na superfície da Terra;
c) a razão $$r_{t} = \frac{t_{P}}{t_{T}}$$ entre o intervalo de tempo, $$t_{P}$$, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, $$t_{T}$$, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);
d) a razão $$r_{v} = \frac{v_{P}}{v_{T}}$$ entre os módulos das velocidades do robô no planeta, $$v_{P}$$, e na Terra, $$v_{T}$$.
Note e adote:
A Terra e o planeta são esféricos.
O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas $$M_{1}$$ e $$M_{2}$$, separados por uma distância r, é dado por $$F = G\frac{M_{1} M_{2}}{r^{2}}$$, em que G é a constante de gravitação universal.
O período de um pêndulo simples de comprimento L é dado por $$T = 2\pi (L/g)^{1/2}$$, em que g é a aceleração local da gravidade.
Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta.
Solução:
a) Aqui temos que a densidade da Terra é igual a densidade do planeta descoberto:
\[d_{T} = d_{P} \longrightarrow \frac{M_{T}}{V_{T}} = \frac{M_{P}}{V_{P}} \longrightarrow \frac{3 M_{T}}{4\pi R_{T} ^{3}} = \frac{3 M_{P}}{4\pi R_{P} ^{3}} \longrightarrow M_{P} R_{T} ^{3} = M_{T} R_{P} ^{3} \longrightarrow \alpha M_{T} R_{T} ^{3} = M_{T} (\beta R_{T})^{3} \longrightarrow \alpha R_{T} ^{3} = \beta ^{3} R_{T} ^{3} \longrightarrow \alpha = \beta ^{3}\]
b) A gravidade de um planeta pode ser calculada da seguinte forma: $$g = \frac{GM}{R^{2}}$$. Podemos agora calcular a razão $$r_{g}$$:
\[r_{g} = \frac{g_{P}}{g_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{G M_{P}}{R_{P} ^{2}}\cdot \frac{R_{T} ^{2}}{G M_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\alpha M_{T}}{\beta ^{2} R_{T} ^{2}}\cdot \frac{R_{T} ^{2}}{M_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\alpha}{\beta ^{2}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\beta ^{3}}{\beta ^{2}} \longrightarrow r_{g} = \beta\]
c) Como vemos no note e adote, podemos calcular o período da perna do robô da seguinte forma: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$. Podemos substituir na razão:
\[r_{t} = \frac{t_{P}}{t_{T}} \longrightarrow r_{t} = \frac{2\pi\sqrt{L}}{\sqrt{g_{P}}}\cdot \frac{\sqrt{g_{T}}}{2\pi\sqrt{L}} \longrightarrow r_{t} = \sqrt{\frac{g_{T}}{g_{P}}} \longrightarrow r_{t} = \sqrt{\frac{1}{\beta}}\]
d) Podemos calcular a velocidade assim: $$v = \frac{L}{T}$$. Portanto podemos substituir na razão $$r_{v}$$.
\[r_{v} = \frac{v_{P}}{v_{T}} \longrightarrow r_{v} = \frac{L}{t_{P}}\cdot \frac{t_{T}}{L} \longrightarrow r_{v} = \frac{t_{T}}{t_{P}} \longrightarrow r_{v} = \sqrt{\beta}\]
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