Sejam $$N$$ e $$M$$ subgrupos normais de $$G$$. Se $$N\cap M =\{1_{G}\}$$, então $$mn=nm$$, para quaisquer $$n\in N$$ e $$m\in M$$.
Solução:
Como $$N$$ é normal, pode-se escrever $$n=mxm^{-1}$$, para $$x\in N$$, o que implica $$nm=mxm^{-1}m = mx (*)$$.
Dado que $$M$$ também é normal, existe $$y\in M$$ tal que $$m=nyn^{-1}$$. A equação $$(*)$$ torna-se $$nm = mx = nyn^{-1}x$$, que implica $$m = yn^{-1}$$ e, portanto, $$my^{-1}=n^{-1}x$$. Observamos que $$my^{-1}\in M$$ e que $$n^{-1}x\in N$$.
A igualdade só é válida com $$my^{-1}=1_{G}=n^{-1}x$$, dado que a intersecção de ambos é o elemento neutro. Assim, temos $$my^{-1}=1_{G}\Longrightarrow m = y$$ e $$n^{-1}x=1_{G}\Longrightarrow n = x$$.
Daqui, $$nm=mx = mn$$.
