O fatorial de um número é uma notação que facilita o cálculo, sobretudo na Análise Combinatória. Definimos o fatorial apenas para números inteiros positivos, os que pertencem ao conjunto {0,1,2,…}. Representamos o fatorial de um número n, ao escrevermos o número seguido do sinal de exclamação: n! .
Definição de Fatorial
Índice
No caso de 0! e 1!, convencionamos que $$0! = 1!=1$$. A partir do número 2, o fatorial de um número natural é $$n! = n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdot…\cdot 2\cdot 1$$. Ou seja, o fatorial de um número é obtido ao multiplicarmos esse número por todos os seus antecessores inteiros positivos.
Vamos resolver os fatoriais abaixo:
a) 2!
b) 3!
c) 4!
d) 5!
e) 6!
f) 7!
Lembre-se de que a definição de fatorial é $$n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)…\cdot 2\cdot 1$$.
Soluções
a) $$2! = 2\cdot 1 = 2$$.
b) $$3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6$$.
c) $$4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$. Observe que $$3\cdot 2\cdot 1 = 3! = 6$$, então podemos escrever $$4! = 4\cdot 3! = 4\cdot 6 =24$$.
d) $$5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$. Novamente, sabemos que $$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 4! = 24$$, então podemos escrever $$5! = 5\cdot 4! =120$$.
Utilizamos o mesmo raciocínio nos dois próximos exercícios.
e) $$6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6\cdot 5! = 720$$.
f) $$7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 7\cdot 6! = 5040$$.
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Operações com Fatorial
Três operações básicas do Fatorial são a soma, a subtração e a multiplicação.
Resolvas as seguintes contas:
a) 3!.4
b) 3! + 5!
c) 6! – 4!
Soluções:
a) Basta observarmos que $$3!=3\cdot 2\cdot 1 = 6$$, então $$3!\cdot 4 = 6\cdot 4 = 24$$.
b) Observe que 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4.3!. Podemos, então, escrever $$3!+5! = (1+5\cdot 4)\cdot 3! = 21\cdot 3! = 21\cdot 6 = 126$$.
c) Observe que 6! = 6.5.4!. Podemos escrever $$6!-4! = (6\cdot 5 – 1)4! = 29\cdot 4! = 29\cdot 24 = 696$$.
Simplificação de Fatorial
A simplificação de números fatoriais ocorre quando há divisão com fatoriais em seus termos. As operações anteriores podem ser úteis na simplificação.
Simplifique as expressões abaixo:
a) 7!/4! – Veja a solução aqui
b) (7!-5!)/4!
c) 8!/5!
d) 9!/(3!6!) – Veja a solução aqui
Soluções:
b) Escrevemos 7! = 7.6.5.4! e 5! = 5.4!. O numerador é fatorado com o fator comum 5.4! em evidência. A fração passa a ser $$\frac{7!-5!}{4!}=\frac{(7\cdot 6\cdot 1 – 1)5\cdot 4!}{4!}=(7\cdot 6 – 1)\cdot 5 = 205$$.
c) Basta escrever que 8! = 8.7.6.5!, donde se tem que $$\frac{8!}{5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6 = 336$$.
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