Lema sobre sistemas lineares

Todo sistema linear homogêneo com $$m$$ equações e $$m+k$$ incógnitas admite uma solução não trivial. Em outras palavras, existe $$x_{m+k}$$ não nulo que satisfaz $$A_{m\times m+k}{x}_{m+k}=0_m$$, para $$m$$ e $$k$$ naturais.

Demonstração:

i) Suponha que $$m=1$$. O sistema reduz-se a uma única equação com $$k+1$$ incógnitas:

$$a_{11}{x}_1+\dots +a_{1(1+k)}{x}_{1+k}=0.$$

Claramente, existe ao menos dois coeficientes não nulos nessa equação, ou teríamos $$m=k=1$$. Supondo, sem perda de generalidade, que $$a_{11+k},a_{11}\ne 0$$, temos a relação

$$x_{1+k}=-\frac{a_{11}{x}_1+\dots +a_{1k}{x}_k}{a_{1(1+k)}}.$$

Fazendo $$x_s=0$$, para $$s\in \{2,\dots ,k\}$$, tem-se que $$x_{1+k}=-\frac{a_{11}}{1(k+1)}$$, de modo que a solução obtida não é nula.

ii) Assumindo como hipótese de indução o lema para $$m\times m+k$$. Se o sistema apresentar as dimensões $$m+1\times m+1+k$$, basta tomar a última equação:

$$a_{m+11}{x}_1+\dots .+a_{(m+1)(m+r)}{x}_{m+r}+a_{(m+1)(m+1+r)}{x}_{m+1+r}=0,$$

de modo que, pelos mesmos critérios apresentados no caso $$m=1$$, e sem perda de generalidade, temos

$$x_{m+1+r}=-\frac{a_{(m+1)1}{x}_1+\dots .+a_{(m+1)(m+r)}{x}_{m+r}}{a_{(m+1)(m+1+r)}}.$$

Substituindo essa expressão em todas as equações anteriores, o sistema resultante terá dimensão $$m\times m+r$$, pois a última incógnita depende de uma combinação linear das outras, obtida da última equação. Por hipótese de indução, o novo sistema tem solução não trivial e, portanto, o sistema original também possui essa mesma solução.