Seja $$S$$ um espaço vetorial de base $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$. Dado um conjunto de vetores linearmente independente $$\{u_{1},…,u_{k}\}$$, com $$k+r=n$$, existem vetores $$w_{1},…,w_{r}$$ tais que o conjunto $$\{u_{1},…,u_{k},w_{1},…,w_{r}\}$$ forma uma base para $$S$$.
Demonstração
i) Em primeiro lugar, suponha, por absurdo, que, para qualquer $$v_{j}$$ da base de $$S$$, o conjunto $$\{u_{1},…,u_{k},v_{j}\}$$ é linearmente dependente. Nesse caso, existem os escalares $$\alpha_{i}$$ e $$\lambda$$ não nulos tais que
\[\alpha_{1}u_{1}+…\alpha_{k}u_{k}+\lambda v_{j}=0\Longrightarrow \]
\[v_{j}=-(\alpha_{1}/\lambda)u_{1}+…+(\alpha_{k}/\lambda)u_{k}.\]
Isso significa que todo vetor da base é combinação linear dos elementos do conjunto em questão. Escrevemos a expressão para cada um dos vetores da base:
\[v_{j}=\sum_{i=1}^{k}\alpha_{i j}u_{i}.\]
Pela hipótese de que os elementos $$v_{j}$$ são linearmente independentes, a combinação linear $$\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}v_{j}=0$$ se, e somente se, $$\beta_{j}=0$$, para $$j\in\{1,..,n\}$$. Expandindo essa combinação linear com a definição de $$v_{j}$$, obtém-se:
\[0=\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}v_{j}=\sum^{n}_{j=1}\sum^{k}_{i=1}\beta_{j}\alpha_{i j}u_{i}=\sum^{n}_{i=1}(\sum_{j=1}^{n}\beta_{j}\alpha_{i j})u_{i}.\]
Pela hipótese de que os elementos $$u_{i}$$ são linearmente independentes, a expressão anterior implica o fato de que $$\sum^{n}_{j=1}\beta_{j}\alpha_{i j}=0$$, para $$i\in\{1,…,k\}$$. Isso significa que temos um sistema linear homogêneo de dimensão $$k\times n$$, em que $$\beta_{j}$$ são as incógnitas. Pelo Lema sobre Sistemas Lineares, como $$k<n$$, esse sistema tem solução não trivial, o que contradiz o fato de que a expressão acima só é verdade se $$\beta_{j}=0$$, para $$j\in\{1,…,n\}$$.
Conclui-se que existe algum elemento de $$S$$ para o qual o conjunto $$\{u_{1},…,u_{k},v_{r}\}$$ é um conjunto linearmente independente.
ii) Nota-se que o argumento anterior é válido enquanto $$k<n$$, isso significa que é possível obter $$n-k$$ vetores da base de modo que $$\mathcal{B}=\{u_{1},…,u_{k},v_{i_{1}},…,v_{i_{n-k}}\}$$ seja um conjunto linearmente independente com a mesma cardinalidade da base. Pelo Teorema da Cardinalidade de Conjuntos L.I, conclui-se que $$\mathcal{B}$$ é uma base de $$S$$.
