Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 6)

Sejam as funções $$f:A⟶B$$ e $$g:B⟶C$$.

a) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é injetiva, $$f$$ é injetiva.

b) Prove que, se $$(g\circ f)(x)$$ é sobrejetiva, $$g$$ é sobrejetiva.

Demonstração:

a) Provaremos a seguinte afirmação: dados $$x,y\in A$$, se $$f(x)=f(y)$$, vale que $$x=y$$.

Com efeito, sejam $$x,y\in A$$ e $$f(x)=f(y)$$ em $$B$$. Dado que $$g$$ está bem definida, $$g(f(x)=g(f(y))$$; em outras palavras: $$(g\circ f)(x)=(g\circ f)(y)$$. Da hipótese de que a função composta é injetiva, temos que $$x=y$$.

b) Provaremos a seguinte afirmação: dado $$p\in C$$, existe $$q\in B$$ tal que $$g(q)=p$$.

De fato, pela hipótese de que a função composta é sobrejetiva, dado $$p\in C$$, existe $$x\in A$$ tal que $$(g\circ f)(x)=p$$. Isto é: $$g(f(x))=p$$. Porque $$f$$ é bem definida, basta por $$f(x)=q\in B$$, para verificar que $$g(q)=p$$.