Olá, pessoal. Neste artigo, vamos tratar do Valor Presente Líquido (VPL) de uma série de pagamentos. Este conceito é essencial para analisar formas de pagamentos e investimentos.
Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, em um determinado período, sobre algum investimento ou dívida — os depósitos ou retiradas naquele caixa. O fluxo destas operações é chamado de fluxo de caixa e é representado por uma linha no tempo, com as respectivas retiradas e inserções de capital naquele caixa.
Em geral, estas séries estão sujeitas a uma taxa de juros específica e fixa, mas pode haver variação na taxa, de acordo com a série.
Valor Presente Líquido (VPL)
- $$P_{s}=$$ depósito ou retirada no instante $$t_{s}$$,
- $$i =$$ taxa de juros,
- $$n =$$ número de ciclos do fluxo de caixa,
- $$VP =$$ valor presente (valor atual) do fluxo de caixa (pode ser nulo).
Cada parcela $$P_{s}$$ está sujeita a uma correção de juros compostos, ao longo do tempo. O Valor Presente ($$VP_{s}$$) ,relativo àquela parcela, será a retroação da parcela no tempo, isto é, o cálculo do valor da parcela (que será paga daqui a $$t_{s}$$ períodos, contados a partir do início do fluxo de caixa) no início do período de pagamentos ou retiradas.
\[VP_{i}=\frac{P_{s}}{(1+i)^{t_{s}}}\]
Note que a sequência dos instante $$t_{s}$$ não requer uniformidade, ou seja, pode-se ter, como exemplo, $$t_{s} = 15$$ dias, $$t_{s}=25$$.
O Valor Presente Líquido (VPL) é o somatório dos valores presentes de todas as operações realizadas no fluxo de caixa e equivale ao valor atual daquele fluxo de caixa. Se ocorrer um financiamento, por exemplo, o VPL representa o custo atual do financiamento. Sendo assim, temos uma ferramenta muito poderosa para compararmos fluxos de caixa.
\[\sum^{n}_{s=1} VP_{s}=VP+\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{1}}}+…\frac{P_{1}}{(1+i)^{t_{n}}}\]
Exemplo 1
Calcule o VPL das séries de capitais a seguir. Note que as retiradas e depósitos possuem sinais distintos. Taxa de 3,87% a.m.
Solução:
Exemplo 2
Uma pessoa quer comprar um terreno que tem o seguinte plano de pagamento a prazo:
- entrada de R$ 5.000,00;
- mais 4 pagamentos mensais de R$ 2.500,00.
Se a pessoa pode aplicar seus recursos à taxa de 2,5% a.m., qual o valor à vista equivalente ao plano de pagamento a prazo?
Solução: (em texto)
Calculando o VPL, teremos o valor atual daquele fluxo de caixa, isto é, teremos, hoje, o valor daquele fluxo de caixa. As prestações vencerão ao final de cada mês, iniciando-se pelo primeiro.
$$VP = R\$ 5000,00$$, pois $$t_{0}=0$$.
$$VP_{i} = \frac{2500}{(1+2,5%)^{i}}$$, pois $$t_{i} = i$$ (mês).
\[VPL=5000+\frac{2500}{(1+2,5%)}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{2}}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{3}}+\frac{2500}{(1+2,5%)^{4}}= R\$ 14.404,94\].
Solução: (no Excel)
Exemplo 3
Uma televisão de 29 polegadas é vendida por R$ 1.660,00 à vista ou a
prazo com o seguinte plano de pagamento:
- 20% de entrada.
- Mais duas parcelas mensais e consecutivas, vencendo a primeira 3 meses após a compra e sendo o valor da segunda a metade da primeira.
Qual o valor de cada prestação, sabendo que a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 2% a.m.?
Solução:
Calculamos o VPL em função das parcelas — aqui, denotadas por $$x$$—, a fim de igualarmos esta expressão ao valor do produto à vista.
$$P_{1}=20%\cdot 1.660,00 = R\$ 332,00=VP_{1}$$, pois $$t_{1}=0$$.
$$VP_{2}=\frac{x}{(1+2%)^{3}}$$, pois $$t_{2}=3$$ meses.
$$VP_{3}=\frac{x/2}{(1+2%)^{4}}$$, pois $$t_{3}=4$$ meses.
\[VPL= 332+\frac{x}{(1+2%)^{3}}+\frac{x/2}{(1+2%)^{4}}\]
Devemos igualar o VPL ao valor à vista da televisão. A explicação para isso é a seguinte: a loja quer lucrar o valor integral da televisão. Quando há financiamento, a loja recebe apenas parte do valor, em prestações, e não recebe o dinheiro no tempo devido, por isso, os juros corrigem esta diferença no tempo. Deste modo, o valor da televisão (margem de lucro da loja) é idêntico ao VPL.
Basta resolvermos a equação:
\[1660,00-VPL=0\Longrightarrow 1600,00 -332-\frac{x}{(1+2%)^{3}}-\frac{x/2}{(1+2%)^{4}} =0\].
Para resolver a equação em $$x$$, recomenda-se o uso de calculadoras ou softwares.
O valor é $$x= R\$ 190,95$$.
Referências:
[1] – Dutra, M. J – Matemática Financeira, modalidade EAD – Unisul
[2] – Vendite, L.L – Matemática Financeira (ver. 2010)
0 comentários