A Cia. γ Ltda. produz um determinado produto e vende-o com um lucro total dado por L(q) = -q³+12q²+60q-4, em que q representa a quantidade produzida. Determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro. Esboce o gráfico desta função.
Solução:
i) Em primeiro lugar, devemos encontrar a função do lucro marginal (derivada de L):
\[L'(q) = (-q^{3}+12q^{2}+60q-4)’=\]
\[-3q^{2}+24q+60.\]
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Igualando o Lucro Marginal a zero, encontramos um ponto crítico da função. Então teremos a equação do segundo grau $$-3q^{2}+24q+60=0$$, ou, fatorando, temos $$-q^{2}+8q+20=0$$. As soluções da equação serão
\[q=\frac{-8\pm\sqrt{64+80}}{-2}=\frac{-8\pm 12}{-2}.\]
Temos, portanto, $$q=-2$$ e $$q=10$$,
Porque a produção representa um número positivo de peças, estamos interessados apenas em $$q=10$$.
ii) Agora, calculamos o Lucro da produção dessas 10 peças:
\[L(10) = -10^{3}+12\cdot 10 + 60\cdot 10 – 4 = R\$ 796,00. \]
iii) Calculando $$lim_{q\to\infty} L(q)$$, teremos
\[lim_{q\to\infty} q^{3}(-1 + \frac{12}{q}+\frac{60}{q^{2}}-\frac{4}{q^{3}})=\]
\[\infty\cdot (-1)=\infty.\]
Observamos que, apesar de $$q=10$$ ser um máximo local, q=10 é um máximo global para todo $$q\geq 0$$, uma vez que a função tende a menos infinito no limite positivo.
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