a) Mostre que, se $$A$$ é uma matriz $$m\times n$$, tal que $$AX = 0$$, para toda matriz $$X$$ $$n\times 1$$, então $$A = 0$$ (matriz nula).
b) Sejam $$B$$ e $$C$$ matrizes $$m\times n$$, tais $$BX = CX$$, para todo $$X$$, $$n\times 1$$. Mostre que $$B = C$$. (Sugestão: use o item anterior.)
Solução:
a) Dada a afirmação de que $$AX=0$$, para todo vetor $$X$$ na condição apresentada, podemos substituir $$X=E_{j}$$, para todo $$j\in\{1,..,n\}$$.
Deste modo, notamos que $$AE_{j}=0$$, mas, do exercício anterior, $$AE_{j}=A_{j}$$ (vetor coluna da matriz). Portanto, $$AE_{j}=A_{j}=0$$ (vetor nulo), para todo $$j$$. Segue que a matriz é formada por vetores colunas nulos, isto é, ela também é nula.
b) \[BX=CX \longrightarrow BX-CX=0 \longrightarrow (B-C)X=0\].
Do item anterior, a matriz $$B-C$$ é nula, ou seja, $$B-C=0\longrightarrow B=C$$.
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