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Polinômios – Questão 1

Considere o polinômio $$p(x)=x^{4}+1=0$$.

a) Ache todas as raízes complexas de p(x).
b) Escreva p(x) como produto de dois polinômios de segundo grau, com coeficientes reais.



Solução:

a) Procuramos o número $$x$$ tal que $$x=(-1)^{1/4}$$. O número 1 é representado no plano complexo pela forma trigonométrica $$1= cos(\pi) + i sen(\pi)$$.

Utilizando a fórmula das raízes de De Moivre, teremos os seguintes resultados para $$x$$:

\[x\in\{cos(\frac{\pi+2k\pi}{4})+i sen(\frac{\pi+2k\pi}{4}), k\in \{0,1,2,3\}\}.\]

Os arcos que compõem esse conjunto são π/4 , 3π/4 , 5π/4 e 7π/4, de sorte que as raízes quartas do número -1 são :

  • $$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$$;
  • $$\frac{\sqrt{2}}{2} (-1+i)$$;
  • $$\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i)$$; e
  • $$\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i)$$.

b) Podemos escrever o polinômio como produto dos mônomios $$(x-r)$$, em que $$r$$ são as raízes do número complexo. Então,

\[(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i))\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2}(1-i))=\]

\[ [(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1/2]=p_{1}(x).\]

O outro polinômio de grau dois com coeficientes reais é

\[(x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1-i))\cdot (x-\frac{\sqrt{2}}{2}(-1+i))=\]

\[ [(x+\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+1/2]=p_{2}(x).\]

Finalmente, $$p(x)=p_{1}(x)\cdot p_{2}(x)$$.

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