Análise Combinatória
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Princípio da Contagem – Exercício 3

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(IBMEC) Palíndromo é uma seqüência de algarismos cuja leitura da direita para a esquerda ou da esquerda
para direita resulta no mesmo número. Por exemplo, 2.002 é palíndromo. Quantos palíndromos existem com cinco algarismos, dado que o primeiro algarismo é um número primo?

a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500



Solução:

Os números primos de um dígito são os do conjunto {2,3,5,7}. Se fixarmos um número primo qualquer, digamos o 2, no início, temos de fixá-lo no final do número, a fim de que a estrutura seja de um palíndromo. Exemplo: 2 _ _ _ _ 2

Restam-nos apenas 3 “casas” para inserir outros algarismos, que estão no conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Para manter a estrutura de palíndromo, o dígito que estiver na segunda posição deve também ocupar a quarta posição. Exemplo: 2 1 _ 1 2.  Então há 10 possibilidades para a segunda posição e apenas uma para a quarta.

Por fim, a posição central pode ser qualquer dígito do conjunto de 10 opções. O total, portanto, corresponde a $$\_ 10\cdot 10\cdot 1\_ = 100$$. Notamos que isso é válido para os números iniciados por um dos primos de um dígito. Como há 4 deles, o total será $$4\cdot 100 = 400$$.

Resposta: e)

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