Prove que um operador $$A: E \longrightarrow E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos a, b ∈ E tais que $$Av = <v,a>b$$, para todo v ∈ E.
Solução:
(⇒) Inicialmente, tomemos uma base ortonormal $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$, cuja existência é garantida pelo teorema de Gram-Schmidt. Supomos que $$posto(A) = 1$$, então existe $$b=\sum_{j=1}\beta_{j}v_{j}$$ tal que $$Im(A)=span\{b\}$$.
Assim, existe, para todo $$i=1,..,n$$ $$\lambda_{i}\in\mathbb{R}$$ tal que $$A(v_{i})=\lambda_{i}$$.
Dado $$v=\sum_{i=1}\alpha_{i}v_{i}$$, tem-se
\[T(v)=T(\sum_{i=1}\alpha_{i}v_{i}) = \sum_{i=1}\alpha_{i}\lambda_{i}[\sum_{j=1}\beta_{j}e_{j}].(*)\]
Tomando-se o vetor $$a=\sum_{i=1}\lambda_{i}v_{i}$$, podemos escrever
\[<v,a> = \sum_{i,j}(\alpha_{i}\lambda_{j})<v_{i},v_{j}>=\sum_{i=1}(\alpha_{i}\lambda_{i}),\]
uma vez que a base é ortonormal.
Desse modo, multiplicando-se o produto interno por $$b$$, temos
\[<v,a>b = \sum_{i=1}(\alpha_{i}\lambda_{i})\sum_{j=1}\beta_{j}v_{j}=(*).\]
O que prova a afirmação.
(⇐) Supondo que $$A(v) = (v,a>b$$, é claro que $$Im(A)=span\{b\}$$, pela definição do operador linear.
