Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são tais que <u,w> = <v,w>, para qualquer w ∈ X, prove que u = v.
Solução:
Escrevemos $$u-v = \sum_{A}\alpha_{a}w_{a}$$, uma combinação linear de vetores em $$X$$. Por hipótese, temos $$<u-v,w>=0$$, para qualquer $$w\in X$$; em particular, a afirmação é válida para todo $$w_{a}$$, no conjunto de índices $$A$$. Além disso, se multiplicarmos por um escalar qualquer, o produto interno se mantém nulo, isto é: $$\alpha_{a}<u-v,w_{a}>=0 (*)$$. Por conseguinte,
\[<u-v,u-v> = <u-v , \sum_{A}\alpha_{a}w_{a}>=\sum_{A}\alpha_{a}<u-v,w_{a}>.\]
A última expressão à direita é nula, conforme a equação (*). Portanto, uma vez que $$<u-v,u-v> = 0$$, a única possibilidade, de acordo com os axiomas de Produto Interno, é que $$u-v=0 \therefore u =v$$.
