Matemática Básica
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Produtos Notáveis – Exercício 4

(UTFPR–2016) Simplificando a expressão $$\frac{(x+y)^{2}-4xy}{x^{2}-y^{2}}$$, com x ≠ y, obtém-se…



Solução:

O numerador possui um trinômio quadrado perfeito, então podemos escrevê-lo como

\[x^{2}+2xy + y^{2}-4xy = x^{2}+y^{2}-2xy.\]

Note que a expressão acima também consiste em um trinômio quadrado perfeito, que é da forma (x-y)² = (x-y)(x-y).

No denominador, por sua vez, temos a diferença de quadrados, que pode ser escrita deste modo:

\[x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y).\]

Retornando à fração original, teremos

\[\frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} = \frac{x-y}{x+y}.\]

Observe que pudemos “cortar” os elementos idênticos do denominador e do numerador, porque x ≠ y, ou x-y ≠ 0.

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