As medidas dos lados de um triângulo retângulo, em centímetros, são numericamente iguais aos termos de
uma progressão aritmética de razão 4. Se a área desse triângulo é de 96 cm², o perímetro desse triângulo, em centímetros, é:
a) 52
b) 48
c) 42
d) 38
e) 36
Solução:
Os lados do triângulo são dados por $$x-4, x$$ e $$x+4$$, uma vez que a razão da progressão aritmética é 4. Evidentemente, a hipotenusa equivale ao lado de medida $$x+4$$, pois ela é sempre o maior lado do triângulo. Como a do triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2, temos
\[96 = A = \frac{(x-4)x}{2}\Longrightarrow\]
\[x^{2}-4x-192=0.\]
Calculamos $$x$$ por Bhaskara, assim, temos
\[x=\frac{4\pm\sqrt{784}}{2} = 2\pm 14.\]
Escolhemos apenas o valor $$x=2+14 = 18$$, dado que $$x$$ é uma medida de um lado. Então o perímetro é dado por
\[p = x-4+x+x+4 = 3x = 3\cdot 18 = 48.\]
