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Sequências – Questão 1

A sequência a seguir foi criada com um padrão.

1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 9, 1, 1, 1, 1, 12, 1, …

O número 27 faz parte dessa sequência e ocupa a posição de número

(A) 44.
(B) 47.
(C) 51.
(D) 54.
(E) 58.



Solução:

Observamos que a sequência é formada por uma progressão aritmética de termo geral $$a_{n}=3n$$, intercalada pela quantidade de dígitos “1” que correspondem ao índice do termo subsequente da progressão aritmética:

  • Apenas um digito “1” antecede $$a_{1}=3\cdot 1 = 3$$,
  • Dois dígitos “1” antecedem $$a_{2}=3\cdot 2 = 6$$,
  • Cada termo $$a_{n}$$ será antecedido por $$n$$ dígitos “1”.

Como $$a_{9}=3\cdot 9 = 27$$, há, antes dele, todos os termos $$a_{1},..,a_{8}$$ com seus respectivos dígitos antecessores, além de uma sequência de nove dígitos “1”, que antecede o $$a_{9}$$ imediatamente.  Sendo assim, a quantidade de dígitos “1” que ocorre antes do $$a_{9}$$ é a soma das quantidades de dígitos “1” que ocorrem antes de todos os termos ($$a_{1},…,a_{8},s_{9}$$) anteriores, isto é:

1+
1+1+
1+1+1…

Observamos que é a soma de uma progressão aritmética $$b_{n}=n$$, então $$S_{9}=9\cdot (1+9)/2 = 45$$. Somando esse resultado aos outros 8 termos $$a_{n}$$’s, temos 53 termos, logo $$a_{9}$$ é o termo de índice 54.

Resposta: d)

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