Definição de Fatorial

No caso de 0! e 1!, convencionamos que $$0! = 1!=1$$. A partir do número 2, o fatorial de um número natural é $$n! = n\cdot(n-1)\cdot (n-2)\cdot…\cdot 2\cdot 1$$. Ou seja, o fatorial de um número é obtido ao multiplicarmos esse número por todos os seus antecessores inteiros positivos.

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Vamos resolver os fatoriais abaixo:

a) 2!
b) 3!
c) 4!
d) 5!
e) 6!
f) 7!

Lembre-se de que a definição de fatorial é $$n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)…\cdot 2\cdot 1$$.

Soluções

a) $$2! = 2\cdot 1 = 2$$.

b) $$3! = 3\cdot 2\cdot 1 = 6$$.

c) $$4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$. Observe que $$3\cdot 2\cdot 1 = 3! = 6$$, então podemos escrever $$4! = 4\cdot 3! = 4\cdot 6 =24$$.

d) $$5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$$. Novamente, sabemos que $$4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 4! = 24$$, então podemos escrever $$5! = 5\cdot 4! =120$$.

Utilizamos o mesmo raciocínio nos dois próximos exercícios.

e) $$6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 6\cdot 5! = 720$$.

f) $$7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 7\cdot 6! = 5040$$.

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Operações com Fatorial

Três operações básicas do Fatorial são a soma, a subtração e a multiplicação.

Resolvas as seguintes contas:

a) 3!.4
b) 3! + 5!
c) 6! – 4!

Soluções:

a) Basta observarmos que $$3!=3\cdot 2\cdot 1 = 6$$, então $$3!\cdot 4 = 6\cdot 4 = 24$$.

b) Observe que 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4.3!. Podemos, então, escrever $$3!+5! = (1+5\cdot 4)\cdot 3! = 21\cdot 3! = 21\cdot 6 = 126$$.

c) Observe que 6! = 6.5.4!. Podemos escrever $$6!-4! = (6\cdot 5 – 1)4! = 29\cdot 4! = 29\cdot 24 = 696$$.

Simplificação de Fatorial

A simplificação de números fatoriais ocorre quando há divisão com fatoriais em seus termos. As operações anteriores podem ser úteis na simplificação.

Simplifique as expressões abaixo:

a) 7!/4! – Veja a solução aqui
b) (7!-5!)/4!
c) 8!/5!
d) 9!/(3!6!) –  Veja a solução aqui

Soluções:

b) Escrevemos 7! = 7.6.5.4! e 5! = 5.4!. O numerador é fatorado com o fator comum 5.4! em evidência. A fração passa a ser $$\frac{7!-5!}{4!}=\frac{(7\cdot 6\cdot 1 – 1)5\cdot 4!}{4!}=(7\cdot 6 – 1)\cdot 5 = 205$$.

c) Basta escrever que 8! = 8.7.6.5!, donde se tem que $$\frac{8!}{5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6 = 336$$.

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• 1) Calcule  2! ,  3! , 4! , 5! , 6! e 7!
Solução

• 2) Simplifique.
a) 7!/4! – Veja a solução aqui
b) (7!-5!)/4!
c) 8!/5!
d) 9!/(3!6!) –  Veja a solução aqui

• 3) (ESPM) A expressão $$\frac{2!\cdot 8!\cdot 13!}{4!}$$ equivale a
a) 4.13!
b) 4!.13!
c) 15!
d) 16.13!
e) 16!
Solução:

• 4) (UNIMONTES) Resolva a equação (3x-5)!=1.
Solução

• 5) Calcule o valor de n em (n-7)! = 120.
Solução

• 6) Resolva a equação $$\frac{(n+1)!\cdot (n-1)}{n!}=15$$.
Solução

• 7)(UA-AM) Simplifique a expressão $$\frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}$$, para $$n\in\mathbb{N}$$ e $$n\geq 1$$. Solução

• 8) (UNIFEI – MG) Calcule o valor de m, de modo que

\[\frac{(2m)!}{2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m+1)}=\frac{1}{9}.\]

Solução

• 9)(UPE) A seguir, temos o fatorial de alguns números.
1! = 1
2! = 2 · 1
3! = 3 · 2 · 1
4! = 4 · 3 · 2 · 1
Considere o astronômico resultado de 2013!. Quanto vale a soma dos seus três últimos algarismos?

a) 0.
b) 6.
c) 13.
d) 20.

Solução

Confira nossa videoaula sobre fatorial!

O post Exercícios resolvidos sobre Fatorial apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 0.
b) 6.
c) 13.
d) 20.
e) 21.

Solução:

Observamos que $$10! = 10\cdot 9!$$. Mesmo não conhecendo o resultado de 9!, podemos dizer que o último algarismo de 10! é o zero, pois, ao multiplicarmos um número por 10, acrescentamos um zero à direita de seu último algarismo.

Podemos utilizar o mesmo raciocínio com o 2013!. O fatorial de 2013 tem, dentre seus fatores, os números 10, 100 e 1000. Qualquer que seja o resultado da multiplicação dos outros fatores, ele virá seguido de, pelo menos, 6 zeros, que é o resultado da multiplicação entre ele e o produto $$10\cdot 100\cdot 1000$$.

A soma dos últimos três algarismos é, portanto, 0+0+0=0.

Resposta: a)

O post Fatorial – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[\frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!},\]

para $$n\in\mathbb{N}$$ e $$n\geq 1$$.
Solução:

Sabemos que $$(n+2)! = (n+1)n!$$ e que $$(n+1)!=(n+1)n!$$. Reescrevendo a expressão, temos

\[\frac{(n+1)!+n!}{(n+2)!}=\]

\[n!(\frac{(n+1)+1}{(n+2)(n+1)})=\]

\[n!\frac{n+2}{(n+2)(n+1)}=\frac{n!}{(n+1)}.\]

O post Fatorial – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Sabemos que (n+1)! = (n+1)\cdot n!. Então podemos escrever 

\[\frac{(n+1)!(n-1)}{n!}=\frac{(n+1)n!(n-1)}{n!}=\]

\[(n+1)(n-1) = n^{2}-1=15.\]

Daqui, $$n^{2}=16$$, donde se conclui que $$n=\pm 4$$. A única solução natural é $$n=4$$.

O post Fatorial – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[\frac{(2m)!}{2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m+1)}=\frac{1}{9}.\]

Solução:

Observa-se que \[(2m)! = 2m\cdot (2m-1)\cdot (2m-2)\cdot (2m-3)\cdot (2m-4)\cdot….2\cdot 1.\]

Os fatores da forma $$2m-2k$$ pode ser escritos como $$2(m-k)$$, e há um total de m-1 fatores deste tipo, então o produto desses m fatores será $$2(m-1)2(m-2)….= 2^{m}(m-1)(m-2)…\cdot 1 = 2^{m}\cdot(m-1)!.

Assim, podemos escrever

\[(2m)! = 2m\cdot 2^{m-1}(m-1)! \cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m-1).\]

Assim,

\[\frac{(2m)!}{2^{m}\cdot m!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot …\cdot (2m+1)}=\]

\[\frac{1\cdot 3\cdot … (2m-1)}{1\cdot 3\cdot …\cdot (2m -1) \cdot (2m+1)}=\]

\[\frac{1}{2m+1}=1\9.\]

Essa equação torna-se $$2m+1=9$$, o que fornece $$m=4$$.

O post Fatorial – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Fatorando, temos $$120 = 2^{3}\cdot 3\cdot 5$$, que pode ser escrito como o produto $$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$$. Como o maior dos fatores de (n=7)!  é o próprio n-7, temos $$n-7=5$$, o que implica $$n=12$$.

O post Fatorial – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Lembre-se de que $$n! = n\cdot (n-1)\cdot…\cdot 2\cdot 1$$. Neste caso, a fim de que $$(3x-5)!=1$$, temos, unicamente, a solução $$3x-5 = 1$$, pois os únicos inteiros que multiplicados resultam em 1 são o próprio número 1.

Daqui, $$3x-5=1$$ implica $$x = 6/3 = 2$$.

Além disso, sabemos que 0! = 1, por definição, então $$3x-5=0$$, o que implica $$x = \frac{5}{3}$$.

As possíveis soluções estão no conjunto $$\{2,5/3\}$$.

O post Fatorial – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) 4.13!
b) 4!.13!
c) 15!
d) 16.13!
e) 16!

Solução:

Usamos a definição de fatorial para escrever que

\[8! = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!.\]

Então,

\[A=\frac{2!\cdot 8!\cdot 13!}{4!} =\]

\[ \frac{2!\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!\cdot 13!}{4!}=\]

\[2!\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4!\cdot 13!.\]

Observamos que $$2!\cdot 7 = 14$$ e que $$8\cdot 6\cdot 5 = 16\cdot 15$$, portanto

\[A=16\cdot 15\cdot 14\cdot 13! = 16!.\]

Resposta: e)

O post Fatorial – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.