Solução:

Escrevemos

\[(*) ||au+bv||^{2} = \langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle v,v\rangle + 2ab \langle v,u\rangle + b^{2}\langle u,u\rangle\].

Dado que, por hipótese, ||u||=||v||, temos $$\langle u,u\rangle = $$\langle v,v\rangle$$. Desse modo, podemos reescrever a equação $$(*)$$ substituindo um produto interno pelo outro e invertendo a ordem do produto interno entre os dois vetores (propriedade simétrica):

\[\langle (au+bv),(au,bv)\rangle = a^{2}\langle u,u\rangle + 2ab \langle u,v\rangle + b^{2}\langle v,v\rangle (**).\]

Por definição da norma euclidiana, sabemos que $$||av+bu||^{2}=(**)$$, isto é: $$||au+bv||^{2}=||av+bu||^{2}$$. Isso só ocorre se ambas as normas tiverem o mesmo valor real positivo. Logo os comprimentos dos vetores são idênticos.

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Solução:

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Solução:

As matrizes diagonais são geradas pelo conjunto linearmente independente $$\{D_{1},…,D_{n}\}$$ de matrizes, cujas entradas todas são nulas, exceto para $$d_{ii}=1$$.

Para qualquer matriz $$M$$, o elemento $$c_{kk}$$, da diagonal de $$D_{i}M^{*}$$, é dado por $$c_{kk}=\sum^{n}_{r=1}d_{kr}\bar{m}_{kr}$$. Como $$d_{kr} =0$$, exceto no caso em que $$k=i=r$$, então teremos $$c_{kk}=0$$, com $$k\neq i$$, e $$c_{ii}=\bar{m_{ii}}$$.

Desse modo, $$tr(D_{i}M^{*}) =0+…+0+\bar{m_{ii}}+0…+0 = \bar{m}_{ii}$$.

A fim de que $$M$$ seja ortogonal a todo elemento do espaço das matrizes diagonais, basta que seja ortogonal a todos os elementos da base do espaço. Dito de outra forma:

\[0=\langle D_{i},M\rangle = tr (D_{i}M^{*})=\bar{m}_{ii}\;,\text{para todo } i\in\{1,…,n\}.\]

Isso implica que os elementos do complemento ortogonal de $$Diag$$ são matrizes cujas diagonais principais são formadas por zeros.

O post Produto Interno – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[\langle v,s \rangle+ \langle s,v \rangle \leq \langle s,s \rangle.\]

Prove que $$v\in S^{\bot}$$.

Solução:

Como a desigualdade é válida para qualquer vetor em $$S$$, tomemos, em particular, o vetor $$\alpha\cdot s$$, com $$\alpha \in\mathbb{R}$$ e positivo, de modo que se tenha

\[\langle v,\alpha\cdot s \rangle +\langle \alpha\cdot s,v \rangle \leq \langle\alpha\cdot s, \alpha\cdot s\rangle.\]

Daqui,

\[\alpha(\langle v,s\rangle+\bar{\langle v,s \rangle})\leq \alpha\cdot\bar{\alpha}\langle s, s\rangle.\]

Multiplicando os dois lados da desigualdade por 1/α, temos

\[\langle v,s\rangle +\bar{\langle v,s \rangle}\leq \bar{\alpha}\langle s,s \rangle.\]

Observe que $$\alpha = \bar{\alpha}$$, dado ser um número real. No lado esquerdo da desigualdade, temos a soma de um número complexo com o seu conjugado, que resulta em um número real, portanto a desigualdade tem sentido.

Se fixarmos um valor para a soma, digamos $$r$$, podemos estudar duas possibilidades:

• Se r>0, a desigualdade não valerá para algum $$ α < \frac{r}{\langle s, s\rangle}$$.
• Se r<0, a desigualdade não valerá para algum α<0 que obedeça à mesma desigualdade acima.

Por conseguinte, só podemos ter r=0.

O post Produto Interno – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

►Mostre que se $$w_{1},…,w_{k}$$ são vetores não nulos ortogonais entre si e $$x=α_{1} w_{1}+…+α_{k} w_{k}$$, então $$x= proj_{w_{1}} (x)+…+proj_{w_{k}} (x)$$. Solução.

►Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$\langle A,B\rangle = tr (AB^{*})$$. Determine o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais ($$Diag$$). Solução.

►Seja $$\{u_{1},…,u_{n}\}\subset E$$ uma base ortonormal. Prove que, para $$v,w\in E$$ arbitrários, tem-se $$<v,w>=\sum^{n}_{i=1}<v,u_{i}>\cdot <w,u_{i}>$$. Solução.

►Seja V um espaço vetorial real. Considere que $$\langle . \rangle_{1}$$ e $$\langle . \rangle_{2}$$ são dois produtos internos em V. Prove que a aplicação $$\langle u,w \rangle=\langle u,w \rangle_{1}+\langle u,w \rangle_{2}$$, para quaisquer $$u,v \in V$$, também é um produto interno em V. Solução.

►Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[ , ]$$ é um produto interno em $$E$$. Solução.

►Prove que um operador $$A: E \longrightarrow E$$, num espaço vetorial de dimensão finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, existem vetores não-nulos a, b ∈  E tais que $$Av = <v,a>b$$, para todo v ∈  E. Solução.

►Seja X um conjunto de geradores do espaço vetorial E, onde est ´a definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E são tais que <u,w> = <v,w>, para qualquer w ∈ X, prove que u = v. Solução.

O post Produto Interno – Exercícios Resolvidos apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos.

Solução:

Escrevemos $$u-v = \sum_{A}\alpha_{a}w_{a}$$, uma combinação linear de vetores em $$X$$.  Por hipótese, temos $$<u-v,w>=0$$, para qualquer $$w\in X$$; em particular, a afirmação é válida para todo $$w_{a}$$, no conjunto de índices $$A$$. Além disso, se multiplicarmos por um escalar qualquer, o produto interno se mantém nulo, isto é: $$\alpha_{a}<u-v,w_{a}>=0 (*)$$. Por conseguinte,

\[<u-v,u-v> = <u-v , \sum_{A}\alpha_{a}w_{a}>=\sum_{A}\alpha_{a}<u-v,w_{a}>.\]

A última expressão à direita é nula, conforme a equação (*). Portanto, uma vez que $$<u-v,u-v> = 0$$, a única possibilidade, de acordo com os axiomas de Produto Interno, é que $$u-v=0 \therefore u =v$$.

O post Produto Interno – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos.

Solução: 

(⇒) Inicialmente, tomemos uma base ortonormal $$\{v_{1},…,v_{n}\}$$, cuja existência é garantida pelo teorema de Gram-Schmidt. Supomos que $$posto(A) = 1$$, então existe  $$b=\sum_{j=1}\beta_{j}v_{j}$$ tal que $$Im(A)=span\{b\}$$.

Assim, existe, para todo $$i=1,..,n$$ $$\lambda_{i}\in\mathbb{R}$$ tal que $$A(v_{i})=\lambda_{i}$$.

Dado $$v=\sum_{i=1}\alpha_{i}v_{i}$$, tem-se

\[T(v)=T(\sum_{i=1}\alpha_{i}v_{i}) = \sum_{i=1}\alpha_{i}\lambda_{i}[\sum_{j=1}\beta_{j}e_{j}].(*)\]

Tomando-se o vetor $$a=\sum_{i=1}\lambda_{i}v_{i}$$, podemos escrever

\[<v,a> = \sum_{i,j}(\alpha_{i}\lambda_{j})<v_{i},v_{j}>=\sum_{i=1}(\alpha_{i}\lambda_{i}),\]

uma vez que a base é ortonormal.

Desse modo, multiplicando-se o produto interno por $$b$$, temos

\[<v,a>b = \sum_{i=1}(\alpha_{i}\lambda_{i})\sum_{j=1}\beta_{j}v_{j}=(*).\]

O que prova a afirmação.

(⇐) Supondo que $$A(v) = (v,a>b$$, é claro que $$Im(A)=span\{b\}$$, pela definição do operador linear.

O post Produto Interno – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos.

Solução:

O post Produto Interno – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$(A^{*})^{*} = A$$.

Solução:

a) $$<ABx,y>=<x, (AB)^{*}y>$$.

$$<ABx,y>=<Bx,Ay>=<x,B^{*}A^{*}y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<x, (AB)^{*}y>=<x,B^{*}A^{*}y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$(AB)^{*} = B^{*}A^{*}$$.

b) $$<Ax,y>=<x,Ay>$$.

$$<A^{*}y,x>=<y,(A^{*})^{*}x>\Longrightarrow <x,A^{*}y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$.

Juntam-se ambas as igualdades para concluir a demonstração.

$$<Ax,y>=<(A^{*})^{*}x,y>$$, para todo $$x\in E$$ e todo $$y\in F$$, então $$A=(A^{*})^{*}$$.

O post Álgebra Linear – Operador Adjunto (exercício 3) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Seja $$< , >$$ um produto interno no espaço vetorial real $$F$$. Dado um isomorfismo $$A:E\longrightarrow F$$, ponha $$[u,v]=<Au,Av>$$ para quaisquer $$u,v\in E$$. Prove que $$[ , ]$$ é um produto interno em $$E$$.

• Lista de Exercícios Resolvidos sobre Produtos Internos.

Solução: Serão verificados todos os axiomas de produto interno.

1) Seja $$u\neq 0$$, é certo que $$Au\neq 0$$, pois $$A$$ é um isomorfismo. Porque $$< , >$$ é um produto interno, é certo que $$[u,u] = <Au, Au> > 0$$.

2) Seja $$\alpha \neq 0$$, $$[\alpha\cdot u, v] = <A(\alpha u) , Av> = <\alpha\cdot Au, Av>=\alpha\cdot <Au,Av> = \alpha\cdot [u,v]$$.

3) $$[u+u’,v]=<A(u+u’),Av>=<Au + Au’,Av>=<Au,Av> + <Au’,Av>=[u,v] + [u’, v]$$.

4) $$[u,v] = <Au,Av>=<Av,Au>=[v,u]$$.

Nota-se, portanto, que $$[ , ]$$ é um produto interno no espaço $$E$$.

O post Produto Interno – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.