Produto Interno – Exercício 6

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Seja V um espaço vetorial complexo com produto interno. Dado $$v\in V$$, suponha que, para todo $$s\in S$$, em que $$S$$ é um subespaço de V,

\[\langle v,s \rangle+ \langle s,v \rangle \leq \langle s,s \rangle.\]

Prove que $$v\in S^{\bot}$$.

Solução:

Como a desigualdade é válida para qualquer vetor em $$S$$, tomemos, em particular, o vetor $$\alpha\cdot s$$, com $$\alpha \in\mathbb{R}$$ e positivo, de modo que se tenha

\[\langle v,\alpha\cdot s \rangle +\langle \alpha\cdot s,v \rangle \leq \langle\alpha\cdot s, \alpha\cdot s\rangle.\]

Daqui,

\[\alpha(\langle v,s\rangle+\bar{\langle v,s \rangle})\leq \alpha\cdot\bar{\alpha}\langle s, s\rangle.\]

Multiplicando os dois lados da desigualdade por 1/α, temos

\[\langle v,s\rangle +\bar{\langle v,s \rangle}\leq \bar{\alpha}\langle s,s \rangle.\]

Observe que $$\alpha = \bar{\alpha}$$, dado ser um número real. No lado esquerdo da desigualdade, temos a soma de um número complexo com o seu conjugado, que resulta em um número real, portanto a desigualdade tem sentido.

Se fixarmos um valor para a soma, digamos $$r$$, podemos estudar duas possibilidades:

  • Se r>0, a desigualdade não valerá para algum $$ α < \frac{r}{\langle s, s\rangle}$$.
  • Se r<0, a desigualdade não valerá para algum α<0 que obedeça à mesma desigualdade acima.

Por conseguinte, só podemos ter r=0.

 


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