Seja V o espaço vetorial das matrizes $$n\times n$$ sobre os complexos, com produto interno $$\langle A,B\rangle = tr (AB^{*})$$. Determinar o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais ($$Diag$$).
Solução:
As matrizes diagonais são geradas pelo conjunto linearmente independente $$\{D_{1},…,D_{n}\}$$ de matrizes, cujas entradas todas são nulas, exceto para $$d_{ii}=1$$.
Para qualquer matriz $$M$$, o elemento $$c_{kk}$$, da diagonal de $$D_{i}M^{*}$$, é dado por $$c_{kk}=\sum^{n}_{r=1}d_{kr}\bar{m}_{kr}$$. Como $$d_{kr} =0$$, exceto no caso em que $$k=i=r$$, então teremos $$c_{kk}=0$$, com $$k\neq i$$, e $$c_{ii}=\bar{m_{ii}}$$.
Desse modo, $$tr(D_{i}M^{*}) =0+…+0+\bar{m_{ii}}+0…+0 = \bar{m}_{ii}$$.
A fim de que $$M$$ seja ortogonal a todo elemento do espaço das matrizes diagonais, basta que seja ortogonal a todos os elementos da base do espaço. Dito de outra forma:
\[0=\langle D_{i},M\rangle = tr (D_{i}M^{*})=\bar{m}_{ii}\;,\text{para todo } i\in\{1,…,n\}.\]
Isso implica que os elementos do complemento ortogonal de $$Diag$$ são matrizes cujas diagonais principais são formadas por zeros.
