Depósitos no fim dos meses: 1,2,3,4,5 e 6 ; PGTO = R$ 1.000,00
Depósitos no fim dos meses: 7,8,9 e 10 ; PGTO = R$ 2.000,00

Resposta: R$ 13.147,13
Solução (no vídeo abaixo):

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Solução (no vídeo abaixo):

O post Fluxo de Caixa – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Resposta: R$ 3013,73
Solução (no vídeo a seguir):

O post Fluxo de Caixa – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Resposta: R$ 271,33
Solução (no vídeo a seguir):

O post Valor Presente – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Ao calcularmos o valor presente do fluxo de caixas apresentado, notaremos que ele é diferente do valor à vista. Neste caso, a taxa nominal de 12% a.a é convertida em taxa mensal efetiva de 12%/12 = 1%  a.m, as prestações são de R$ 1700 e o período é de 12 meses. Prosseguindo, temos

\[VP = 1700\cdot\frac{(1+0,01)^{12}-1}{1%\cdot (1+0,01)^{12}}=R\$ 19.133,63. \]

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A fim de que o resultado acima seja o valor financiado, requer-se uma entrada de $$25.000 – 19.133 = R\$ 5.866,37$$.

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Solução:

• PGTO (ou PMT) = R$ 5.000,00,
• n (ou Per, ou Nper) = 6,
• i = 0,9% = 0,009.

Com a fórmula do Valor Presente para séries de pagamentos uniformes, temos

\[VP=\frac{(1+0,009)^{6}-1}{0,009\cdot (1+0,009)^{6}}=R\$ 29077,23.\]

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Da fórmula exibida no artigo anterior, temos

\[VP=\sum_{k=1}^{n}\frac{PGTO_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}.\]

Como a série é uniforme, temos $$PGTO_{k}=PGTO$$ e $$t_{k}=k$$, para $$k\in\{1,2,…,n\}$$, ou seja: as parcelas são iguais e são executadas sempre em períodos constantes. Assim, a fórmula acima é simplificada para

\[VP=PGTO\cdot(\frac{1}{(1+i)}+….+\frac{1}{(1+i)^{n}}.\]

A soma de frações corresponde à soma de uma progressão geométrica com termo $$a_{1}=(1+i)^{-1}$$ e razão $$q=(1+i)^{-1}$$. Com a fórmula da soma da P.G, obtemos a relação

\[\frac{1}{(1+i)}+….+\frac{1}{(1+i)^{k}} =\]

\[ (1+i)^{-1}\cdot\frac{(1+i)^{-n}-1}{(1+i)^{-1}-1}.\]

O soma de fatores do denominador torna-se $$-i(1+i)^{-1}$$. Se multiplicarmos numerador e denominador por $$-(1+i)^{n}$$, teremos, finalmente,

\[PV=PGTO\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}.\]

Exemplo:

Qual é o valor presente de uma série de três pagamentos mensais de R$ 300,00, a uma taxa de 2% ao mês?

Solução:

• $$PGTO = R\$ 300,00$$,
• $$i=0,02$$,
• $$n=3$$.

Utilizando a fórmula, temos

\[PV=300\cdot \frac{(1,02)^{3}-1}{0,02\cdot (1,02)^{3}}= R\$ 865,16.\]

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\[VF = VP\cdot (1+i)^{n}.\]

O conceito do VP pode ser estendido a séries de pagamento.

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Definição: Uma série de pagamentos (ou anuidades) são as operações financeiras, depósitos ou retiradas, que ocorrem em um fluxo de caixa sob regime dos Juros Compostos e que afetam o saldo final de tal fluxo, de acordo com a taxa de juros vigente e com as datas dos depósitos.

Observe a figura abaixo.

O diagrama representa um fluxo de caixa com um valor presente (VP) e quatro depósitos  (PGTO), que resultam no valor futuro (VF).

O VP desempenha papel fundamental como ferramenta comparativa de séries de pagamentos (empréstimos, investimentos, planos de pagamento, etc.). A forma mais utilizada para realizar a comparação de fluxos de caixa é trazer todas as prestações ao início do fluxo, ao tempo igual a zero.

De acordo com a fórmula vista nos Juros Compostos, cada parcela, que pode ser igual ou diferente das outras, tem um valor presente dado pela taxa de juros e pelo tempo em que foram depositadas, contado a partir do tempo zero do fluxo de caixa.

No caso do fluxo da figura, podemos imaginar, por exemplo, uma taxa de juros mensal $$i$$, com pagamentos $$PGTO_{k}$$, ocorrendo no mês $$t_{k}$$, contado a partir do início do fluxo de caixa. Assim, cada parcela é trazida ao presente pela fórmula

\[VP_{k}=\frac{PGTO_{k}}{(1+i)^{t_{k}}}.\]

E o Valor Presente total da série é a soma dos $$VP_{k}$$:

\[VP = \sum^{s}_{k=1} VP_{k}.\]

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• Plano A:  À vista com um desconto de R$ 0.10 por litro;
• Plano B:  Pagamento para daqui a 15 dias .

Então:
a) Qual o mais vantajoso, se a taxa de juros para cheque especial é de 12% a.m. efetiva?
b) De quanto deverá ser o desconto por litro, para que comprar à vista seja sempre mais vantajoso?

Podemos considerar o preço do litro a R$ 2,49.

Solução:

a) Como o consumo é proporcional à quantidade de litros, vamos considerar um padrão de 10 L de gasto. Assim, para completar os 10 L, são gastos $$2,49 \cdot 10 = R\$ 24,9$$. Desse total são descontados $$0,1\cdot 10 = R\$ 1,00 $$, se o pagamento for à vista, totalizando $$24,9 -1 = R\$ 23,9$$.

Se o pagamento for feito daqui a 15 dias, o valor será de $$R\$ 24,9$$. Logo, para compararmos os dois valores, trazemos este ao valor presente, na fração $$15/30$$ do mês:

\[VP = \frac{24,9}{(1+0,12)^{15/30}}= R\$ 23,53.\]

Note que, como o Valor Presente (VP) da prestação a 15 dias é maior do que o valor do desconto obtido, o pagamento a prazo é mais vantajoso.

b) Qualquer desconto que forneça um valor menor do que o VP calculado fará com que o pagamento à vista seja mais vantajoso. Com efeito,

\[(24,9 -23,53)/10 = 0,137 \cong 0,14. \]

Um desconto de R$ 0,14 por litro será suficiente para que o pagamento à vista seja mais vantajoso.

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