Álgebra Linear
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Transformações Lineares – Exercício 12

Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes:

(a) A intersecção da imagem de $$T$$ com o núcleo de $$T$$ é o subespaço nulo de $$V$$.

(b) Se $$T(T(v))=0_{V}\Longrightarrow T(v)=0_{V}$$.



Solução:

Seja $$v\in Im(T)$$ (imagem), então existe $$w\in V$$ tal que $$T(w)=v$$.

De (a) para (b).

Se $$T(T(w))=T(v)=0$$, temos $$T(w)\in ker (T)$$ e $$T(w)\in Im(T)$$.

Por hipótese em (a), se $$T(w)\in ker(T)\cap Im(T)$$, então $$v=T(w)=0_{V}$$.

De (b) para (a). 

A hipótese em (a) valerá, em particular, para $$v\in Im(T)$$. Se $$T(T(w))=T(v)=0_{V}$$ implica em $$v=0_{V}$$.

Isto é, todo $$v\in Im(T)$$ que pertence ao núcleo [$$T(v)=0_{V}$$] só pode ser idêntico ao vetor nulo do espaço vetorial. Em outras palavras, $$Im(T)\cap ker(T)=\{0_{V}\}$$.

Tags: transformações lineares

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