Seja $$V$$ um espaço vetorial, e seja $$T$$ uma transformação linear de $$V$$ em $$V$$. Demonstrar que as duas afirmações seguintes sobre $$T$$ são equivalentes:
(a) A intersecção da imagem de $$T$$ com o núcleo de $$T$$ é o subespaço nulo de $$V$$.
(b) Se $$T(T(v))=0_{V}\Longrightarrow T(v)=0_{V}$$.
Solução:
Seja $$v\in Im(T)$$ (imagem), então existe $$w\in V$$ tal que $$T(w)=v$$.
De (a) para (b).
Se $$T(T(w))=T(v)=0$$, temos $$T(w)\in ker (T)$$ e $$T(w)\in Im(T)$$.
Por hipótese em (a), se $$T(w)\in ker(T)\cap Im(T)$$, então $$v=T(w)=0_{V}$$.
De (b) para (a).
A hipótese em (a) valerá, em particular, para $$v\in Im(T)$$. Se $$T(T(w))=T(v)=0_{V}$$ implica em $$v=0_{V}$$.
Isto é, todo $$v\in Im(T)$$ que pertence ao núcleo [$$T(v)=0_{V}$$] só pode ser idêntico ao vetor nulo do espaço vetorial. Em outras palavras, $$Im(T)\cap ker(T)=\{0_{V}\}$$.
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