Transformações Lineares – Exercício 13

No espaço vetorial $$\mathcal{P}$$ dos polinômios, considere os operadores lineares $$D,A:\mathcal{P}\longrightarrow\mathcal {P}$$ de derivação ($$D(p(x))=p'(x)$$) e multiplicação por $$x$$ ($$A(p(x)))=x\cdot p(x)$$), respectivamente. Determine $$DA-AD$$.

Solução:

$$D(A(p(x)))=D(x\cdot p(x))=(x\cdot p(x))’-x’p+xp’$$.

$$AD=A(D(p(x)))=A(p'(x))=xp'(x)$$.

$$DA-AD=x’p_xp’-xp’=x’p=p(x)$$.

Operador $$AD-DA = I$$ (identidade).