Álgebra Linear
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Transformações Lineares – Exercício 14

Seja $$X: V\longrightarrow W$$ uma transformação linear tal que $$Xv\neq 0$$, para todo $$v\neq 0$$ em $$V$$. Prove que, se $$A,B\in\mathcal{L}(V;W)$$ cumprem $$XA=XB$$, então $$A=B$$.



Solução:

Com efeito, suponha a existência de $$u\in V$$ tal que $$A(u)\neq B(u)$$. Por hipótese, ainda teremos $$X(A(u))=X(B(u))$$, o que implica em $$X(A(u)-B(u))=0$$. Novamente, por hipótese, isto só será possível com $$A(u)-B(u)=0$$, logo chegaremos a um resultado — $$A(u)=B(u)$$ — que contradirá nosso ponto de partida. Portanto não se pode admitir $$u$$ na condição assumida. Isto comprova a propriedade.

Tags: transformações lineares

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