Seja $$v$$ um vetor não-nulo de um espaço vetorial $$E$$, de dimensão finita. Dado qualquer espaço vetorial $$F\neq\{0\}$$, mostre que existe uma transformação linear $$A:E\longrightarrow F$$ tal que $$Av\neq 0$$.
Solução:
Seja $$v=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$, para alguma base de elementos $$v_{i}$$ e para alguns escalares $$alpha_{i}$$. Suponha que um destes escalares não seja nulo — digamos que seja $$\alpha_{1}\neq 0$$.
Podemos tomar uma transformação que associa $$v$$, no seguinte modo:
$$v\mapsto \alpha_{1}v_{1}$$.
Com efeito, esta relação está bem-definida e é linear. Se $$v=w\Longrightarrow v=w=\alpha_{1}v_{1}+…+\alpha_{n}v_{n}$$. Logo $$w\mapsto \alpha_{1}v_{1}$$ e $$v\mapsto\alpha_{1}v_{1}$$.
É fácil ver que a relação é linear.
