Mostre que a aplicação a seguir é linear:
$$F:\mathbb{R}^{3}\longrightarrow \mathbb{R}^{2}$$, definida por $$F(x,y,z) = (x+2y-3z , 4x-5y+6z)$$.
Solução:
Sempre verificamos se $$F(v+v’) = F(v) + F(v’)$$ e $$F(\alpha\cdot v) = \alpha\cdot F(v)$$, para quaisquer vetores $$v$$ e $$v’$$ no domínio e para qualquer $$\alpha\in\mathbb{R}$$.
Sejam $$v=(x,y,z)$$ e $$v=(x’,y’,z’)$$. Por definição,
\[F(v+v’)=F((x,y,z)+(x’,y’,z’)) =F(x+x’,y+y’,z+z’)=\]
\[(x+x’+2(y+y’)-3(z+z’) , 4(x+x’)-5(y+y’)+6(z+z’)=\]
\[(x+2y-3z , 4x-5y+6z) + (x’+2y’-3z’ , 4x’-5y’+6z’)=\]
\[F(v)+F(v’).\]
Além disso,
\[F(\alpha\cdot v) = F(\alpha x, \alpha y,\alpha z)=\]
\[(\alpha\cdot x+2\alpha\cdot y-3\alpha\cdot z , 4\alpha\cdot x-5\alpha\cdot y+6\alpha\cdot z)=\]
\[\alpha\cdot ((x+2y-3z , 4x-5y+6z))=\alpha\cdot F(v).\]
