Sejam as matrizes $$A_{m\times n}$$ e $$B_{n\times s}$$, então $$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$$.
Demonstração:
i) Em primeiro lugar, observa-se o que ocorre com a multiplicação $$Av$$, em que $$v$$ tem dimensão $$n\times 1$$. Nomeando as linhas da matriz $$A$$ com a simbologia $$a_{1},…,a_{m}$$, temos
\[(Av)^{T}=(\begin{bmatrix} <a_{1},v>\\.\\.\\.\\ <a_{m},v>\end{bmatrix})^{T}=[<a_{1},v> … <a_{m},v>]=[<v,a_{1}> … <v,a_{m}>]=v^{T}A^{T}.\]
A última igualdade justifica-se pelo fato de que cada coordenada do produto entre o vetor transposto e a matriz transposta é resultante do produto interno entre o vetor e as coluna da matriz transpostas, que é a linha da matriz original.
ii) Nomeando as colunas da matriz $$B$$ com a simbologia $$b_{1},…,b_{s}$$, o produto $$AB$$ pode ser visto como uma matriz cujas colunas são os vetores (matrizes $$m\times 1$$) resultantes do produto entre a matriz $$A$$ e cada uma das colunas de $$B$$, ou seja: cada coluna da matriz resultante do produto matricial é calculada como o produto matricial entre a matriz $$A$$ e a coluna da matriz $$B$$, nesta ordem. A partir deste fato e do que fora observado em (i), tem-se que
\[(AB)^{T} = A[b_{1},…,b_{s}])^{T}= [Ab_{1},…,Ab_{s}]^{T}=\begin{bmatrix} (Ab_{1})^{T}\\.\\.\\.\\ (Ab_{s})^{T}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_{1}^{T}A^{T}\\.\\.\\.\\ b_{s}^{T}A^{T}\end{bmatrix}.\]
Por último, nota-se que o produto $$B^{T}A^{T}$$ pode ser visto como $$\begin{bmatrix} b_{1}^{T}A^{T}\\.\\.\\.\\ b_{s}^{T}A^{T}\end{bmatrix}.$$, uma vez que $$b_{j}$$ é uma linha da matriz $$B^{T}$$, ou seja: cada linha da matriz resultante do produto matricial, neste ponto da demonstração, é calculada como o produto matricial entre a linha da matriz $$B^{T}$$ (coluna da original) e a matriz $$A^{T}$$, nesta ordem.
