Uma urna contém uma bola branca, quatro bolas pretas e x bolas vermelhas, sendo x > 2. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, é observada e recolocada na urna. Em seguida, retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Se $$\frac{1}{2}$$ é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor, o valor de x é:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
Solução:
1) Cálculo da cardinalidade (número de elementos) do espaço amostral [casos favoráveis].
Como há reposição da bola na urna, o total de duplas que podem ser formadas, com $$5+x$$ bolas, é $$(5+x)\cdot (5+x)=x^{2}+10x+25$$.
2) Cálculo da cardinalidade do evento “tirar duas bolas da mesma cor” [casos possíveis].
branca X branca: Há uma possibilidade apenas de retirar a branca duas vezes, tendo em vista que existe apenas uma bola branca e ela é recolocada na urna após a primeira retirada, caso seja escolhida.
Nos casos
preta X preta : Há $$4\cdot 4= 16$$ possibilidades.
vermelha X vermelha: Há $$x\cdot x=x^{2}$$ possibilidades.
O número de casos possíveis do evento “Saírem duas bolas de mesma cor” é a soma dos casos calculados, ou seja, $$=1+16+x^{2}$$.
3) A probabilidade de serem retiradas duas esferas da mesma cor é o número de casos possíveis dividido pelo número de casos favoráveis e esta fração equivale a (1/2),conforme o enunciado. Isto é, $$p=\frac{x^{2}+17}{x^{2}+10x+25}=\frac{1}{2}\Longrightarrow$$.
\[2x^{2}+34=x^{2}+10x+25\Longrightarrow x^{2}-10x+9\]
Resolvendo por Bhaskara, obtemos $$x=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{2}=\frac{10\pm 8}{2}$$.
Assim, $$x=\frac{18}{2}=9$$, ou $$x=\frac{2}{2}=1$$. Eliminamos o caso $$x=1$$, pois, conforme o enunciado, $$x>2$$.
Resposta: a)
