Considere o conjunto dos dígitos {1, 2, 3, …, 9} e forme com eles números de nove algarismos distintos.
a) Quantos desses números são pares?
b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos?
Solução:
a) Se fixarmos o número dois como último algarismo, teremos 8 algarismos para escolher dentre os números {1,3,4,5,6,7,8,9}. O total dessas sequências são as permutações possíveis, isto é: 8!. Observe que isso se repete também com os números 4,6 e 8, logo o total de números pares formados por esses algarismos é $$4\cdot 8!$$.
b) Vamos impor que os dois primeiros números sejam ímpares e o último tenha dígito igual a 8. Observe que, após os dois números ímpares, só teremos a intercalação PAR e ÍMPAR, até atingirmos o último dígito, o 8. Exemplo: 132547698. Além disso, observamos que o preenchimento dos algarismos terá os seguintes números disponíveis: Pares = {2,4,6} e Ímpares = {1,3,5,7,9}. O total de sequências numéricas que satisfazem as condições impostas é dado por $$5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1$$.
Se impusermos ímpares para o segundo e o terceiro dígitos, o número de possibilidades é exatamente o mesmo, e assim por diante. Para contabilizarmos as 4 colocações de ímpares lado a lado e os 4 números pares, tomemos o número anterior e multipliquemos por $$16$$, logo o total será de $$ 16\cdot 5!\cdot 3!$$.
A probabilidade será de $$\frac{16\cdot 5!\cdot 3!}{4\cdot 8!} =\frac{1}{14}$$.
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