Resolução – UERJ 2017 (1º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação)

Questão 26

Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

Solução:

Primeiramente, ao apertar a tecla B, depois de um número $$x$$, o resultado é multiplicado por 5, $$5x$$.

Em segundo lugar, quando pressionou a tecla A, a calculadora retornará o valor exibido na tela, $$5x$$, ou seja, exibirá $$log_{10}5x$$.

Por fim, ao pressionar a tecla B novamente, retornará o resultado $$5log_{10}(5x)=10$$.

\[5log_{10}(5x)=10\Longrightarrow log_{10}(5x)=2\Longleftrightarrow 100=10^{2}=5x\Longrightarrow x 100/5=20\]

Resposta: a)

Questão 27

No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica:

 

O valor da tangente de θ é igual a:

a) 0,65

b) 0,60

c) 0,55

d) 0,50

Solução:

O triângulo retângulo ABC tem sua tangente calculada em função do lado do quadrado. Observe que os dois catetos, AC e AB são de mesma medida, $$3r$$, portanto $$tg(\alpha)=3r/3r=1\longrightarrow \alpha = 45º$$.

Agora, observe a figura a seguir, para calcularmos o valor da tangente do ângulo β.

Observe que $$\theta+\beta=45^{0}$$. Além disso, do triângulo AB’P, a tangente de β é calculada, pois o cateto B’P mede $$r$$ e o cateto AB’ mede $$4r$$. Assim, $$tg(\beta)=\frac{r}{4r}=1/4$$.

Utilizando a fórmula dada, podemos calcular tg(θ)=tg(45º- β).

\[tg(\theta)=tg(45^{0}-\beta)=\frac{tg(45^{0}-tg(\beta)}{1-tg(45^{0}\cdot tg(\beta)}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+1\cdot\frac{1}{4}}=\frac{3/4}{5/4}=3/5=0,6\]

Resposta: b)

Questão 28

Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por A(0,4) e B(2,0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto P(xo,0), sendo $$0<x_{0}<2$$.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0,0), A e B, o valor de xo deve ser igual a:

 

Questão 29

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Considere o conjunto de números naturais abaixo e os procedimentos subsequentes:

A= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

 

1 – Cada número primo de A foi multiplicado por 3. Sabe-se que um número natural P é primo se P > 1 e tem apenas dois divisores naturais distintos.

2 – A cada um dos demais elementos de A, foi somado o número 1.

3 – Cada um dos números distintos obtidos foi escrito em apenas um pequeno cartão.

4 – Dentre todos os cartões, foram sorteados exatamente dois cartões com números distintos ao acaso.

A probabilidade de em pelo menos um cartão sorteado estar escrito um número par é:

a) 5/12

b) 7/12

c) 13/24

d) 17/24

Solução:

Descrevamos os passos anteriores com os conjuntos obtidos deles.

1. Os primos são {2,3,5,7}. O conjunto obtido é {6,9,15,21}.

2. Os não primos são {0,1,4,6,8,9}. O conjunto obtido é {1,2,5,7,9,10}.

3. O conjunto total obtido é {1,2,5,6,7,9,10,15,21}. Cada número representa um cartão.

Neste conjunto, observe que 3 são pares e 6 são ímpares.

 

Para que, em uma dupla sorteada, exista, no mínimo, um número par, pode-se ter um par e um ímpar, ou dois pares. Note que, neste  exercício, precisamos considerar as duplas híbridas duas vezes; (par,ímpar) é diferentes da dupla (ímpar,par); porque o enunciado pede as duplas em que aparecem, no mínimo, 2 cartões. No caso (par,par) não é necessário fazer o arranjo.

  • Caso (par,ímpar): $$ \frac{3\cdot 6}{2!}=9$$
  • Caso (ímpar,par): $$\frac{6\cdot 3}{2!}=9$$
  • Caso (par,par) [Combinação de 3 elementos pares tomados 2 a 2]: $$C_{3,2}=\frac{3\cdot 2}{2!1!}=3$$

Ao todo, há 9+9+3 = 21 possibilidades.

 

Por fim, o número de elementos no espaço amostral é a quantidade de duplas que se pode tirar com aquele conjunto, isto é, a combinação dos 9 elementos tomados 2 a 2.

\[C_{9,2}=\frac{9!}{2!7!}=\frac{9\cdot 8}{2}=36\].

\[p=\frac{21}{36}=\frac{3\cdot 7}{3\cdot 12}=\frac{7}{12}\]

Resposta: b)

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