Resolução – UERJ 2017 (1º Exame de Qualificação) – Matemática (continuação)

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Questão 26

Uma calculadora tem duas teclas especiais, A e B. Quando a tecla A é digitada, o número que está no visor é substituído pelo logaritmo decimal desse número. Quando a tecla B é digitada, o número do visor é multiplicado por 5. Considere que uma pessoa digitou as teclas BAB, nesta ordem, e obteve no visor o número 10. Nesse caso, o visor da calculadora mostrava inicialmente o seguinte número:

a) 20

b) 30

c) 40

d) 50

Solução:

Primeiramente, ao apertar a tecla B, depois de um número $$x$$, o resultado é multiplicado por 5, $$5x$$.

Em segundo lugar, quando pressionou a tecla A, a calculadora retornará o valor exibido na tela, $$5x$$, ou seja, exibirá $$log_{10}5x$$.

Por fim, ao pressionar a tecla B novamente, retornará o resultado $$5log_{10}(5x)=10$$.

\[5log_{10}(5x)=10\Longrightarrow log_{10}(5x)=2\Longleftrightarrow 100=10^{2}=5x\Longrightarrow x 100/5=20\]

Resposta: a)


Questão 27

No esquema abaixo, estão representados um quadrado ABCD e um círculo de centro P e raio r, tangente às retas AB e BC. O lado do quadrado mede 3r.

A medida θ do ângulo CÂP pode ser determinada a partir da seguinte identidade trigonométrica:

O valor da tangente de θ é igual a:

a) 0,65

b) 0,60

c) 0,55

d) 0,50

 

Solução:

O triângulo retângulo ABC tem sua tangente calculada em função do lado do quadrado. Observe que os dois catetos, AC e AB são de mesma medida, $$3r$$, portanto $$tg(\alpha)=3r/3r=1\longrightarrow \alpha = 45^{o}$$.

Agora, observe a figura a seguir, para calcularmos o valor da tangente do ângulo β.

Observe que $$\theta+\beta=45^{0}$$. Além disso, do triângulo AB’P, a tangente de β é calculada, pois o cateto B’P mede $$r$$ e o cateto AB’ mede $$4r$$. Assim, $$tg(\beta)=\frac{r}{4r}=1/4$$.

Utilizando a fórmula dada, podemos calcular tg(θ)=tg(45º- β).

\[tg(\theta)=tg(45^{0}-\beta)=\frac{tg(45^{0}-tg(\beta)}{1-tg(45^{0}\cdot tg(\beta)}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+1\cdot\frac{1}{4}}=\frac{3/4}{5/4}=3/5=0,6\]

Resposta: b)


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