A figura a seguir, que também apareceu no Vestibular Unicamp 1987, exibe uma circunferência de centro O e raio r. Considere que o segmento BC mede r e o ângulo ABO mede 15 graus. Os pontos P, A, C estão na circunferência, e os pontos P, O, B e A, C, B são colineares.
Se r=1, determine o comprimento do segmento AP.
a) √(2 – √2).
b) √(2 + √2).
c) √(4 – √2).
d) √(4 + √2).
Para resolver, identificamos triângulos isósceles a partir dos raios r=1 e segmentos dados, definindo os ângulos internos. O ângulo no centro O para o triângulo AOP resulta em 45º, considerando a soma dos ângulos adjacentes. Aplicando a Lei dos Cossenos, temos x² = 1² + 1² – 2(1)(1)cos(45º), onde x é o segmento AP. Substituindo cos(45º) por √2/2, obtemos x² = 2 – √2. Portanto, o comprimento de AP é igual a √2 – √2. Veja a solução em vídeo:
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